Глава 1. Динамика дифференциальных уравнений

1.1. Интегрирование линейных уравнений второго порядка

Интегрирование даже простых дифференциальных уравнений следует рассматривать как нечто существенно большее, чем просто технические упражнения в математике. Оно может — особенно в случае уравнений, описывающих динамические системы, — проливать свет на глубинные геометрические свойства этих систем.

Хорошо известное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

(здесь означает производную по времени описывает движение частицы под действием линейной возвращающей силы, т. е. малые колебания. Преимущественно здесь используются стандартные обозначения; так, где k — силовая постоянная, масса частицы. Для такого простого уравнения решение «автоматически» находится с помощью подстановки

Две постоянных интегрирования — амплитуду и сдвиг фазы — можно найти из начальных условий

1.1.а. Интегрирование в квадратурах

Вернемся к уравнению (1.1.1) и решим его другим способом, который на первый взгляд может показаться более сложным. В качестве первого шага удобно, хотя в этом и нет особой необходимости, представить (1.1.1) в виде пары взаимосвязанных уравнений первого порядка, а именно

Такое представление, как мы вскоре убедимся, весьма целесообразно, особенно для гамильтоновых систем (рассматриваемых в главе 2), так как позволяет получить гораздо более «геометрическую» картину движения. Умножая обе стороны (1.1.4а) на а обе стороны (1.1.46) на у, и складывая оба уравнения, приходим к тождеству

Левая часть представляет собой производную по времени откуда очевидным образом следует, что заключенное в скобки выражение есть постоянная величина:

Постоянную (по времени) функцию называют обычно интегралом движения или первым интегралом. Поскольку можно отождествить с механической энергией системы. Эта величина может быть использована для перехода от системы из двух уравнений (1.1.4) к одному уравнению. Выразив у в явном виде через из (1.1.6), преобразуем (1.1.4а) к виду

Это уравнение можно представить в виде интегралов с разделенными переменными или в квадратурах:

Интегрируя обе части (1.1.7), мы, разумеется, получаем вторую постоянную интегрирования (которую обозначим 12), что позволяет написать

Легко видеть, что интефирование в правой части приводит к функции арксинуса:

На данном этапе представлено как (многозначная) функция от но простое обращение приводит в этом случае к результату

который, разумеется, полностью эквивалентен полученному ранее (1.1.2). Отметим, что наши рассуждения включали четыре существенных этапа:

1) идентификация первого интеграла;

2) использование интеграла для понижения порядка дифференциального уравнения на единицу;

3) «интегрирование» в явном виде, т. е. в квадратурах;

4) обращение, приводящее к однозначному решению.

Для такого простого уравнения, как (1.1.1), может показаться, что этот путь (представляющийся довольно запутанным) не имеет преимуществ по сравнению с подстановкой приводящей к тому же решению. Однако с появлением в дифференциальном уравнении нелинейных членов более естественно «интефирование в квадратурах», так как метод простых подстановок неприменим. Вместе с тем, как это скоро станет ясно в ходе изложения, существуют серьезные причины

динамического характера, в силу которых многие — если не большинство — уравнений не могут быть проинтегрированы в квадратурах, особенно если их порядок превышает два.

Вновь подчеркнем, что возможность проинтегрировать уравнение представляет собой нечто большее, чем просто математическую тонкость. Здесь мы проникаем в самое сердце системы, познавая глубинные ее свойства.

В историческом аспекте развитие методов интегрирования дифференциальных уравнений (первая попытка принадлежит Исааку Ньютону составляло основной предмет деятельности математиков восемнадцатого и девятнадцатого столетий. Значительной виртуозности достиг выдающийся математик Якоби, разработавший эффективную теорию эллиптических функций, которая может быть использована при интегрировании определенных классов нелинейных дифференциальных уравнений. Прежде чем перейти к рассмотрению таких уравнений, целесообразно обсудить некоторые дополнительные аспекты линейной системы (1.1.1) и ее модификаций.

Период движения линейной системы (1.1.1) легко находится из решения (1.1.2), представленного в явном виде: полный цикл движения завершается за время Этот результат можно также получить, исходя из решения в квадратурах (1.1.8), если вычислить определенный интеграл, пределы которого определяются концевыми точками движения. Выражая первый интеграл в явном виде как механическую энергию определяем эти пределы интегрирования: (квадратный корень в (1.1.8) в этих двух точках обращается в ноль). Таким образом, время, необходимое для завершения полного цикла движения, составляет

Очевидно, что период в случае данной линейной системы не зависит от энергии (или, что эквивалентно, от начальных условий). Сравним с простой нелинейной системой

которая может соответствовать движению частицы под действием нелинейной возвращающей силы (с «силовой постоянной» Первый интеграл для (1.1.13) легко

вычисляется, и снова может быть интерпретирован как механическая энергия системы Определенный интеграл, эквивалентный (1.1.12), имеет в данном случае вид

и допускает (что весьма удачно) явное представление в терминах гамма-функции (:

Теперь период явным образом зависит от энергии. В данном конкретном случае он убывает с ростом энергии, т. е. чем сильнее возбуждена частица, тем быстрее завершается цикл ее движения. Мы можем также связать с движением эквивалентную характеристику (теперь тоже зависящую от энергии) — частоту задаваемую соотношением

Этот простой пример иллюстрирует чрезвычайно важное различие между линейными и нелинейными системами: в случае последних характеристическая частота зависит от энергии (или, что эквивалентно, от начальных условий). Это становится особенно важным, когда система подвергается возмущению или воздействию внешней силы.