8.4. Свойство Пенлеве дифференциальных уравнений в частных производных

Обсуждая результаты, которые могут быть получены путем анализа структуры особенностей обыкновенных дифференциальных уравнений, естественно задаться вопросом, нельзя ли аналогичный подход использовать в случае дифференциальных уравнений в частных производных. Было бы, в частности, чрезвычайно полезно, если бы удалось сформулировать некий аналог свойства Пенлеве для проверки интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных. Очевидная трудность здесь связана с тем, что решения у. ч. п. представляют собой функции по крайней мере двух независимых переменных, и построить аналитические продолжения для таких функций не столь просто, как в случае единственной комплексной переменной. Решение этой проблемы будет изложено в этом разделе кратко — мы ограничимся рассмотрением простого подхода.

Обсуждая в главе 7 солитонные уравнения, мы уделили значительное внимание (и существенно использовали) различным вариантам сведения соответствующих у. ч. п. к о. д. у. Так, например, уравнение КдФ сводится к эллиптическому о. д. у. с помощью преобразования бегущей волны и к уравнению Пенлеве с помощью автомодельного преобразования. В действительности читатель может заметить, что практически все рассмотренные в главе 7 интегрируемые уравнения сводятся к о. д. у., обладающим свойством Пенлеве. Именно такое наблюдение привело Абловица, Рамани и Сегура (АРС) [22] к предположению, что «нелинейное у. ч. п. разрешимо посредством обратного преобразования рассеяния лишь в том случае, если каждое из нелинейных о. д. у., полученных с помощью точного преобразования (редукции), обладает свойством Пенлеве». (Это предположение допускает замену переменных в о. д. у. при проверке на свойство Пенлеве.) Другими словами, проверить интегрируемость у. ч. п. (в смысле существования ОПР) - это значит убедиться в существовании свойства Пенлеве у всех возможных редукций к о. д. у. К сожалению все такие возможные редукции не известны, по-видимому, ни в одном случае. И тем не менее гипотеза АРС подразумевает, что некоторый тип мероморфности у. ч. п. связан с их интегрируемостью. Поэтому было бы желательно иметь средство непосредственной проверки этого свойства у. ч. п., не предполагающее сведение к о. д. у.

8.4.а. Обобщенное разложение Лорана

Основное различие между аналитическими функциями одной и нескольких комплексных переменных состоит в том, что во втором случае особенности не могут быть изолированы. Оказывается, что если является мероморфной функцией комплексных переменных то особенности лежат на аналитическом многообразии размерности Такие многообразия, которые мы будем называть сингулярными многообразиями, определяются условиями вида

где аналитическая в окрестности многообразия функция.

Существование таких сингулярных многообразий подсказывает способ обобщения понятия ряда Лорана на случай функций большого числа комплексных переменных. Так, в случае аналитической функции Вейсс с соавт. [29]

предложили записывать обобщенное разложение Лорана в виде

где

и

аналитические функции от в окрестности многообразия (8.4.1), а а принимает целочисленные значения. Аналогию с обычным рядом Лорана в случае одной переменной легко усмотреть, положив и рассматривая как (постоянные в этом случае) коэффициенты разложения. Если справедливость разложения (8.4.2) может быть обоснована, то мы можем утверждать, что и «однозначна» в окрестности произвольного подвижного сингулярного многообразия (8.4.1). В этом смысле мы можем использовать разложение (8.4.2), чтобы определить «свойство Пенлеве» для решений у. ч. п.

Важное (и полезное) свойство функции состоит в том, что ее градиенты не должны обращаться в ноль на самом сингулярном многообразии. Рассмотрим, например, как функцию двух переменных Сингулярное многообразие в этом случае определяется соотношением

Теорема существования неявной функции утверждает, что вблизи этой поверхности может быть представлена как

где

при условии, что

на (8.4.5). Аналогично, записав разложение вблизи (8.4.5) в виде мы должны потребовать для того, чтобы

Существование у данного (нелинейного) у. ч. п. обобщенного свойства Пенлеве проверяется аналогично случаю обыкновенных дифференциальных уравнений. Подставляя (8.4.2) в рассматриваемое у. ч. п., определяем возможные значения а и рекуррентные соотношения для Заметим, что поскольку являются функциями эти рекуррентные соотношения представляют собой в данном случае связанные у. ч. п., содержащие Так же, как и в случае о. д. у., при некоторых степенях соответствующие будут произвольны (резонансы). Существование этих резонансов вытекает из теоремы Коши-Ковалевской для у. ч. п., которая утверждает, что локальное разложение общего решения должно иметь столько произвольных функций, каков порядок уравнения. Если резонансу не соответствует произвольная то это означает, что подстановка (8.4.2) не подходит, и для обеспечения требуемой произвольности необходимо использовать некоторый вариант обобщенного пси-ряда. Начальные стадии обсуждаемого подхода можно упростить, если вначале провести исследование, аналогичное анализу ведущего члена и резонансов. Это позволяет быстро выявить различные типы особенностей, а также определить, какие из них

отвечают общим и какие особым решениям. После этого анализ становится более сложным, чем в случае о. д. у., в силу того, что рекуррентные соотношения для представляют собой системы связанных у. ч. п. Однако эту трудность можно преодолеть, используя теорему существования неявной функции. Так, в случае двумерной задачи мы полагаем и коэффициенты разложения сводятся к функциям, зависящим лишь от Такое преобразование существенно упрощает использование рекуррентных соотношений. Но вместе с тем ниже мы увидим, что использование полных разложений дает гораздо более полную информацию, чем просто тест на однозначность.