1.1.б. Затухающий осциллятор

Вернемся к линейному уравнению которое легко преобразовать таким образом, чтобы включить в рассмотрение действие силы трения:

где А — коэффициент «затухания» или коэффициент «трения». Решение (1.1.16) вновь наиболее просто находится с помощью подстановки что приводит к

где в данном случае частота задается соотношением (предполагается, что так как при решение чисто затухающее), а амплитуда а и фаза 6 могут быть определены из начальных условий (хотя они и не такие, как для Понятно, что наличие силы трения приводит к замедлению движения, и решение (1.1.17) соответствует затухающим колебаниям. При характеристический период мало отличается от соответствующей величины для случая незатухающих колебаний. В этом пределе еще имеет смысл говорить о средней механической энергии, представляющей собой сумму среднего (т. е. усредненного по периоду) квадрата скорости и среднего квадрата смещения Однако она не является сохраняющейся величиной, и легко показать, что

где начальное значение «энергии». Придавая особое значение идее интегрирования в квадратурах, естественно задать вопрос, можно ли и систему (1.1.16), записанную в виде пары уравнений первого порядка

представить в полностью интегрируемом виде. В случае незатухающих колебаний энергия представляла собой не зависящий от времени первый интеграл, что позволяло понизить порядок системы. В рассматриваемом случае эта величина, как было показано, не сохраняется. Поэтому не исключено, что интегрирование в квадратурах невозможно. Однако, как мы увидим в разделе 1.5, для одного значения А можно ввести зависящий от времени интеграл, позволяющий в явном виде понизить порядок. Такие зависящие от времени интегралы встречаются довольно редко, и, соответственно, те немногочисленные случаи, в которых они могут быть найдены, представляют определенный интерес.