ГЛАВА II. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС
§ 8. Гамильтониан
Волновая функция 
полностью определяет состояние физической системы в квантовой механике. Это означает, что задание этой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства системы в этот момент, но определяет ее поведение также и во все будущие моменты времени — конечно, лишь с той степенью полноты, которая вообще допускается квантовой механикой. Математически это обстоятельство выражается тем, что значение производной 
от волновой функции по времени в каждый данный момент времени должно определяться значением самой функции 
в тот же момент, причем зависимость эта должна быть, согласно принципу суперпозиции, линейной. В наиболее общем виде можно написать
где Н — некоторый линейный оператор; множитель 
введен здесь с целью, которая выяснится ниже.
Поскольку интеграл 
есть постоянная, не зависящая от времени величина, то имеем
Подставив сюда (8,1) и применив в первом интеграле определение транспонированного оператора, пишем (опустив общий множитель 
):
Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции 
, то отсюда следует, что должно быть тождественно 
, т. е. оператор 
эрмитов.
Выясним, какой физической величине он соответствует. Для этого воспользуемся предельным выражением волновой функции (6,1) и напишем
(медленно меняющуюся амплитуду а можно не дифференцировать). Сравнив это равенство с определением (8,1), мы видим, что в предельном случае оператор Н сводится к простому умножению на величину — 
. Это значит, что последняя и есть та физическая величина, в которую переходит эрмитов оператор Н.
Но производная 
есть не что иное, как функция Гамильтона Н механической системы. Таким образом, Н есть оператор, соответствующий в квантовой механике функции Гамильтона. Его называют гамильтоновым оператором или, короче, гамильтонианом системы. Если вид гамильтониана известен, то уравнение (8,1) определяет волновые функции данной физической системы. Это основное уравнение квантовой механики называется волновым уравнением.
