§ 127. Квазиклассический случай

Проследим, каким образом происходит предельный переход от квантовомеханической теории рассеяния к классической.

Исключив из рассмотрения равный нулю угол рассеяния 0, мы можем написать амплитуду рассеяния, даваемую точной теорией, в виде (124,4)

(127,1)

Мы знаем, что квазиклассические волновые функции характеризуются большой величиной их фазы. Поэтому естественно предположить заранее, что предельному переходу в теории рассеяния соответствуют большие фазы . Значение суммы (127,1) определяется в основном членами с большими . Поэтому можно заменить асимптотическим выражением (49,7), которое напишем в виде

Подставив это выражение в (127,1), получим

(127,2)

Экспоненциальные множители, рассматриваемые как функции от являются быстро осциллирующими функциями (поскольку их фазы велики). В связи с этим большинство членов суммы (127,2) взаимно уничтожаются. Сумма будет в основном определяться областью значений l, близких к тому, при котором показатель одной из экспонент имеет экстремум, т. е. близких к корню уравнения

(127,3)

В этой области имеется большое число членов ряда, для которых экспоненциальные множители сохраняют почти постоянные значения (показатели медленно меняются вблизи точки своего экстремума) и которые поэтому не будут взаимно уничтожаться.

Фазы 6, в квазиклассическом случае могут быть написаны (см. § 124) как предел, к которому стремится при разность фазы

квазиклассической волновой функции в поле и фазы волновой функции свободного движения, равной (см. § 33).

Таким образом,

Это выражение надо подставить в уравнение (127,3). При определении производной от интеграла надо помнить, что предел интегрирования тоже зависит от l; но получающийся от этого член сокращается с производной от члена Величина есть момент импульса частицы. В классической механике его можно написать в виде три, где — прицельное расстояние, a v — скорость частицы на бесконечности.

Мы сделаем эту подстановку, после чего уравнение (127,3) примет окончательно вид

В поле отталкивания это уравнение имеет корень (для ) лишь при знаке минус перед 0 в правой стороне, а в поле притяжения — при знаке плюс.

Уравнение (127,5) в точности совпадает с классическим уравнением, определяющим угол рассеяния по прицельному расстоянию (см. l, § 18). Легко убедиться и в том, что и для сечения действительно получается классическое выражение.

Для этого разложим показатель экспоненты в (127,2) по степеням , где определяется уравнениями (127,3) — (127,5). Будем для определенности рассматривать первый член в (127,2) и соответственно принимаем нижний знак в (127,3) (случай отталкивания). Заметив, что, согласно

имеем

Суммирование по в (127,2) заменяем теперь интегрированием по вблизи точки . Рассматривая при этом l как комплексную переменную, направим путь интегрирования вблизи указанной точки вдоль направления наиболее крутого спада показателя экспоненты, т. е. под углом или к вещественной оси, в зависимости от знака

Другими словами, полагаем и интегрируем по вещественным значениям ; ввиду быстрой сходимости интеграла его можно пространить от до

В результате получим

(127,6)

Отсюда

(127,7)

и после введения прицельного расстояния согласно мы приходим к классической формуле

Таким образом, условие классичности рассеяния при заданном угле заключается в том, чтобы было велико значение при котором имеет место (127,3), и чтобы было велико также и при этом значении 1. Это условие имеет простой смысл. Для того чтобы можно было говорить о классическом рассеянии на угол при пролетании частицы на прицельном расстоянии , необходимо, чтобы квантовомеханические неопределенности в значениях того и другого были относительно малы: Неопределенность угла рассеяния имеет порядок величины , где — импульс частицы, а — неопределенность его поперечной составляющей. Так как то а потому во всяком случае и

Заменяя момент импульса три на получим что совпадает с условием (так как как это видно из (127,3)).

Классический угол отклонения частицы можно оценить как отношение поперечного приращения импульса за «время столкновения» к первоначальному импульсу Сила, действующая в поле на частицу на расстоянии , есть поэтому так что Эта оценка справедлива строго лишь, если угол , но по порядку величины ее можно продлить и до .

Подставив это выражение в (127,8), получим условие квазиклассичности рассеяния в виде

(127,9)

Это неравенство должно выполняться для всех значений , при которых еще .

Если поле убывает быстрее, чем , то условие (127,9) во всяком случае перестает выполняться при достаточно больших . Но большим соответствуют малые 0; таким образом, рассеяние на достаточно малые углы во всяком случае не будет классическим. Если же поле спадает медленнее, чем то рассеяние на малые углы будет классическим; будет ли в этом случае классическим рассеяние на большие углы, зависит от характера хода поля на малых расстояниях.

Для кулонова поля условие (127,9) выполняется, если . Это условие обратно тому, которое позволяет рассматривать кулоново поле как возмущение. Мы увидим, впрочем, что по случайным причинам квантовая теория рассеяния в кулоновом поле приводит к результату, совпадающему с классическим во всех случаях.

Задачи

1. Найти полное сечение квазиклассического рассеяния в поле, имеющем на достаточно больших расстояниях вид

Решение. Имея в виду, что основную роль играют фазы с большими l, вычисляем их по формуле (124,1)

(вычисление интеграла — ср. задачу 5 к § 126). Заменив суммирование в (123,12) интегрированием, пишем

После подстановки и интегрирования по по частям интеграл приводится к Г-функции. В результате получим

(при раскрытие неопределенности дает ).

Условие применимости этого результата заключается прежде всего в том» чтобы при было отсюда получим неравенство

Еще одно условие возникает из требования, чтобы поле имело рассматриваемый вид уже на расстояниях

(l из соотношения ), которые играют основную роль в интеграле (1). Если этот вид достигается лишь на расстояниях (где а — характерные размеры поля), то отсюда возникает условие

устанавливающее верхний предел допустимых скоростей. Напомним, что в этом случае при достаточно больших скоростях (при условии имеет место зависимость (ср. задачу 5 § 126).

2. Найти угловое распределение рассеяния вблизи точки экстремума классического угла рассеяния как функции прицельного расстояния

Решение. Наличие экстремума функции при некотором означает, согласно (127,3), что фаза вблизи этой точки имеет вид

где (снова выбираем для определенности случай нижнего знака в (127,3)); постоянная а или соответственно в случаях максимума или минимума функции Для амплитуды рассеяния получаем, вместо (127,6):

где . Выразив интеграл через функцию Эйри согласно найдем окончательно для сечения рассеяния 1)

Дифференциальное сечение затухает в глубь классически недоступной области рассеяния при или при а по другую сторону от точки испытывает колебания между нулем и постепенно убывающей амплитудой. Его максимальное значение достигается при , где .

3. Найти угловое распределение квазиклассического рассеяния на малые углы, если классический угол отклонения обращается в нуль при некотором конечном значении

Решение. Предположенная квазиклассичность рассеяния в рассматриваемом случае означает, что Тогда в рассеянии существенны значения близкие к При малых имеем

(тогда, согласно (127,3), при

Это выражение вадо поставить в (127,1), причем может быть представлено в виде (49,6). Суммирование по l снова заменяется интегрированием по вокруг точки :

Интеграл определяется областью Для углов можно вынести функцию из-под знака интеграла, заменив ее значением при . Оставшийся интеграл вычисляется, как объяснено в тексте. В результате находим для сечения

Аналогичный результат получается для сечения рассеяния на углы, близкие к , если классический угол рассеяния обращается в при некотором конечном (отличном от нуля) значении .