§ 115. Плотность тока в магнитном поле

Выведем квантовомеханическое выражение для плотности тока при движении заряженной частицы в магнитном поле.

Будем исходить из формулы

(115,1)

определяющей изменение функции Гамильтона распределенных в пространстве зарядов при варьировании векторного потенциала. В квантовой механике ее надо применять к среднему значению гамильтониана заряженной частицы:

Произведя варьирование и имея в виду, что находим

(115,3)

Член с преобразуем, интегрируя по частям:

(интеграл по бесконечно удаленной поверхности, как обычно, исчезает). Интегрирование по частям производим также и в последнем члене в (115,3), воспользовавшись известной формулой векторного анализа

Интеграл от члена с исчезает, так что остается

В результате окончательно получаем

Сравнив с (115,1), находим следующее выражение для плотности тока:

(115,4)

Подчеркнем, что хотя это выражение и содержит в явном виде Еекторный потенциал, оно, как и следовало, вполне однозначно. В этом легко убедиться прямым вычислением, заметив, что одно временно с калибровочным преобразованием векторного потенциала, согласно (111,8), надо произвести также и преобразование волновой функции согласно (111,9).

Легко проверить также, что ток (115,4) вместе с плотностью зарядов удовлетворяет, как и следовало, уравнению непрерывности

Последний член в (115,4) дает вклад в плотность тока, происходящий от магнитного момента частицы. Он имеет вид с , где

(115,5)

есть пространственная плотность магнитного момента.

Выражение (115,4) представляет собой среднее значение плотности тока. Его можно рассматривать как диагональный матричный элемент некоторого оператора — оператора плотности тока j. Этот оператор проще всего записать в представлении вторичного квантования, что сводится к замене операторами и (причем, согласно общему правилу, должен стоять в каждом члене слева от Y). Можно определить и недиагональные матричные элементы этого оператора:

(115,6)