§ 53. Переходы под влиянием адиабатических возмущений

Мы уже упоминали в § 41, что в пределе сколь угодно медленно меняющегося со временем возмущения вероятность перехода системы из одного состояния в другое стремится к нулю. Рассмотрим теперь этот вопрос количественно, вычислив вероятность перехода под влиянием медленно меняющегося (адиабатического) воозмущения (Л. Д. Ландау, 1961).

Пусть гамильтониан системы есть медленно меняющаяся функция времени, стремящаяся к определенным пределам при . Пусть, далее, — собственные функции и собственные значения энергии (зависящие от времени, как от параметра), получающиеся в результате решения уравнения Шредингера

ввиду адиабатического характера временного изменения Н зависимости и от времени также являются медленными. Стоящая перед нами задача состоит в определении вероятности нахождения системы при в некотором состоянии если при она находилась в состоянии (даваемое интегралом — ) велико.

Медленность возмущения приводит к большой длительности «процесса перехода», и потому изменение действия за это время

В этом смысле поставленная задача имеет квазиклассический характер и в определении искомой вероятности перехода существенную роль играют те значения , для которых

и которые как бы соответствуют «моменту перехода» в классической механике (ср. § 52); в действительности, разумеется, такой переход классически невозможен, что выражается комплексностью корней уравнения (53,1). В связи с этим возникает необходимость в исследовании свойств решений уравнения Шредингера при комплексных значениях параметра t в окрестности точки в которой два собственных значения энергии становятся равными.

Как мы увидим, вблизи этой точки собственные функции сильно зависят от t. Для определения этой зависимости введем предварительно их линейные комбинации (обозначим их как ), удовлетворяющие условиям

Этого всегда можно достичь надлежащим выбором комплексных коэффициентов (функций от t). Функции уже не имеют особенности при .

Будем теперь искать собственные функции в виде линейных комбинаций

При этом надо иметь в виду, что при комплексных значениях «времени» t зависящий от него оператор (вида (17,4)) по прежнему совпадает со своим транспонированным но уже не является эрмитовым ( поскольку потенциальная энергия )

Подставим (53,3) в уравнение Шредингера и, умножив его слева один раз на а другой раз на проинтегрируем по Введя обозначения

и учитывая, что ввиду указанного свойства гамильтониана, получим систему уравнений:

Условие разрешимости этой системы дает уравнение корни которого определяют собственные значения энергии

После этого из (53,5) находим

Из (53,6) видно, что для совпадения в точке двух собственных значений в ней должно обращаться в нуль Ни или пусть это будет Ни. Обращение функции в нуль в регулярной точке происходит, вообще говоря, пропорционально Поэтому

(53,8)

имеет при точку ветвления. При этом и так что в точке имеется всего одна собственная функция, - совпадающая с .

Мы видим теперь, что поставленная задача формально полностью аналогична рассмотренной в § 52 задаче о надбарьерном отражении. Мы имеем дело с «квазиклассической по времени» волновой функцией (вместо квазиклассической по координате функции в § 52), и требуется определить член вида в волновой функции при если при волновая функция (аналогично задаче об определении отраженной волны при по прошедшей волне при ); искомая вероятность перехода . При этом действие выражается интегралом по времени от функции, имеющей комплексные точки ветвления (подобно тому, как имела комплексные точки ветвления функция ) в интеграле Поэтому рассматриваемая задача решается путем обхода в плоскости комплексного переменного t (от больших отрицательных к большим положительным значениям), полностью аналогично тому, как это было сделано в § 52 в плоскости переменного х, и мы не будем повторять здесь соответствующих рассуждений.

Будем считать, что на вещественной оси тогда обход должен совершаться в верхней полуплоскости комплексного t (при смещении в которую отношение ) растет). В результате получим. формулу (аналогичную формуле (52,2))

где интегрирование производится по изображенному на рис. 19 контуру, но в направлении слева направо.

На левой ветви этого контура а на правой Поэтому можно переписать (53,9) в виде

(53,10)

где — любая точка на вещественной оси t, а в качестве должен быть взят тот из находящихся в верхней полуплоскости корней уравнения (53,1), для которого показатель экспоненты в (53,10) имеет наименьшее по абсолютной величине значение. Кроме того, с прямым переходом из состояния в состояние 2 могут конкурировать также «пути перехода» через различные промежуточные состояния, вероятности которых выражаются аналогичными формулами. Так, для перехода по «пути» интеграл в (53,10) заменяется суммой интегралов

в верхних пределах которых стоят «точки пересечения» соответственно термов этот результат получается путем обхода по контуру, охватывающему обе эти комплексные точки.

Задача

Определить изменение адиабатического инварианта классического осциллятора, подчиняющегося уравнению

при медленном изменении частоты от ее значения при до при (А. М. Дыхне, 1960).

Решение. Уравнение (1) получается из уравнения Шредингера переобозначениями

после чего задача оказывается формально эквивалентной задаче об отражении от потенциального барьера, рассмотренной в § 25. Это позволяет свести вычисление изменения адиабатического инварианта к вычислению амплитуды отражения.

Запишем решение (1) при как

Согласно (25,6)

Адиабатический инвариант для осциллятора равен Е/со, так что

или, подставляя (2):

Используя соотношение (25,7), имеющее в наших обозначениях вид , находим:

Рассматриваемый случай медленного изменения соответствует в задаче об отражении от барьера квазиклассической ситуации предыдущего параграфа. В такой ситуации экспоненциально мало, а (Предполагается, что ) не имеет особенностей или нулей на вещественной оси t.) Изложенный в предыдущем параграфе метод вычисления амплитуды отражения дает для оценку

где — особая точка в верхней полуплоскости t, дающая наибольший вклад в . Эта формула совпадает с результатами I, § 51 для рассматриваемого случая гармонического осциллятора. В случае, когда имеет в верхней полуплоскости простой нуль, формулы предыдущего параграфа позволяют найти и предэкспоненциальный множитель. (См. примечание на стр. 234).

Отметим, что второй — главный — член в (3) зависит от начальной фазы колебаний. При усреднении по этой фазе он обращается в нуль, так что

где — «коэффициент отражения».