§ 107. Матричные элементы тензоров

В § 29 были получены формулы, определяющие зависимость матричных элементов векторной физической величины от значения проекции момента. Эти формулы являются в действительности частным случаем общих формул, решающих такую же задачу для неприводимого (см. стр. 260) тензора любого ранга.

Совокупность компонент неприводимого тензора ранга k (k — целое число) по своим трансформационным свойствам эквивалентна совокупности сферических функций (см. примечание на стр. 260). Это значит, что путем составления соответствующих линейных комбинаций компонент тензора можно получить набор величин, преобразующихся при вращениях как функции Совокупность таких величин, которые мы будем обозначать здесь посредством назовем сферическим тензором ранга

Так, вектору соответствует значение а величины связаны с компонентами вектора следующими формулами:

(107,1)

(ср. (57,7)). Аналогичные формулы для тензора второго ранга имеют вид

(107,2)

причем

Составление тензорных произведений из двух (или большего числа) сферических тензоров происходит в соответствии с правилами сложения моментов, причем играют формально роль «моментов», соответствующих этим тензорам. Таким образом, из двух сферических тензоров рангов можно образовать сферические тензоры рангов по формулам

(ср. (106,9)).

Скалярное произведение двух сферических тензоров одинакового ранга к принято, однако, определять как

(107,4)

что отличается от определения по формуле (107,3) с множителем (ср. (106,2)). Это определение можно представить также в ввде

если заметить, что комплексное сопряжение сферического тензора производится по правилу

Представление физических величин в виде сферических тензоров в особенности удобно при вычислении их матричных элементов, так как позволяет воспользоваться для этой дели результатами теории сложения моментов.

По определению матричных элементов, имеем

(107,5)

где — волновые функции стационарных состояний системы, характеризуемых величиной ее момента его проекцией и набором остальных квантовых чисел По своим трансформационным свойствам функции в правой и левой сторонах равенства (107,5) соответствуют функциям в правой и левой сторонах равенства (106,11). Отсюда сразу следуют правила отбора:

Матричные элементы компонент неприводимого тензора ранга k отличны от нуля лишь для переходов удовлетворяющих «правилу сложения моментов» ; при этом числа должны удовлетворять «правилу треугольника» (т. е. могут измерять стороны замкнутого треугольника), а . В частности, диагональные матричные элементы могут быть отличны от нуля только при условии

Далее, из той же трансформационной аналогии следует, что коэффициенты в сумме (107,5) должны быть пропорциональны коэффициентам в (106,11) (теорема Вигнера—Эккарта).

Этим определяется зависимость коэффициентов от чисел , в соответствии с чем представим матричные элементы в виде

(107,6)

— большее из чисел , где — величины, не зависящие от ; их называют приведенными матричными элементами. Эта формула решает поставленный вопрос об определении зависимости матричных элементов от проекций моментов. Эта зависимость оказывается полностью связанной со свойствами «имметрии по отношению к группе вращений, между тем как зависимость от остальных квантовых чисел определяется уже физической природой самих величин

Операторы связаны друг с другом соотношениями

(107,7)

Поэтому для их матричных элементов имеет место равенство

(107,8)

Подставив сюда (107,6) и воспользовавшись свойствами -символов (106,5), (106,6), получим для приведенных матричных элементов соотношение «эрмитовости»

(107,9)

Матричные элементы скаляра (107,4) диагональны по и т. Согласно правилу умножения матриц имеем

Подставив сюда выражения (107,6) и произведя суммирование по q и с помощью соотношения ортогональности -символов (106,12), получим следующую формулу:

(107,10)

Аналогичным образом легко получить следующие формулы суммирования квадратов матричных элементов:

(107,11)

В первой из них суммирование производится по q и при заданном , а во второй — по при заданном q (причем всегда ).

Рассмотрим, со справочными целями, случай, когда величинами являются сами шаровые функции и дадим выражения их матричных элементов для переходов между состояниями одной частицы с целочисленными орбитальными моментами и 4, т. е. интегралов

(107,13)

Помимо правила отбора, соответствующего правилу сложения моментов ), для этих матричных элементов имеет место также правило, согласно которому сумма должна быть четным числом. Оно связано с сохранением четности, в силу которого произведение четностей обоих состояний должно совпадать с четностью рассматриваемой физической величины (см. § 30).

Матричные элементы (107,13) являются частным случаем более общегс интеграла, который будет вычислен в § 110 (см. примечание на стр. 526). Они даются формулой

В частности, при находим значение интеграла от произведения трех полиномов Лежандра 1

(107,15)