§ 14. Матрица плотности

Описание системы с помощью волновой функции соответствует наиболее полному возможному в квантовой механике описанию — в смысле, указанном в конце § 1.

С состояниями, не допускающими такого описания, мы столкнемся, рассмотрев систему, являющуюся частью некоторой большей замкнутой системы. Предположим, что замкнутая система в целом находится в некотором состоянии, описываемом волновой функцией где х обозначает совокупность координат рассматриваемой системы, a q — остальные координаты замкнутой системы. Эта функция, вообще говоря, отнюдь не распадается на произведение функций только от х и только от q, так что система не обладает своей волновой функцией.

Пусть есть некоторая физическая величина, относящаяся к нашей системе. Ее оператор действует поэтому только на координаты х, но не на q. Среднее значение этой величины в рассматриваемом состоянии есть

Введем функцию определяемую посредством

где интегрирование производится только по координатам ее называют матрицей плотности системы.

Из определения (14,2) очевидно, что она обладает свойством «эрмитовости»

«Диагональные элементы» матрицы плотности

определяют распределение вероятности для координат системы.

С помощью матрицы плотности среднее значение f можно написать в виде

Здесь f действует в функции только на переменные после вычисления результата воздействия надо положить . Мы видим, что, зная матрицу плотности, можно вычислить среднее значение любой величины, характеризующей систему. Отсюда следует, что с помощью можно определить также и вероятности различных значений физических величин системы. Таким образом, состояние системы, не обладающей волновой функцией, может быть описано матрицей плотности. Матрица плотности не содержит координат q, не относящихся к данной системе, хотя, разумеется, по существу зависит от состояния замкнутой системы в целом.

Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания систем. Описание же с помощью волновой функции является частным случаем, отвечающим матрице плотности вида Между этим частным случаем и общим случаем имеется следующее важное различие. Для состояния, обладающего волновой функцией (такое состояние называют чистым), всегда существует такая полная система измерительных процессов, которые приводят с достоверностью к определенным результатам (математически это означает, что есть собственная функция какого-либо оператора). Для состояний же, обладающих лишь матрицей плотности (их называют смешанными), не существует полной системы измерений, которые приводили бы к однозначно предсказуемым результатам.

Предположим, что рассматриваемая система замкнута или стала таковой, начиная с некоторого момента времени; выведем уравнение, определяющее изменение ее матрицы плотности временем, аналогичное волновому уравнению для -функции.

Вывод можно упростить, заметив, что искомое линейное дифференциальное уравнение для должно удовлетворяться и в том частном случае, когда система обладает волновой функцией, т. е.

Дифференцируя по времени и воспользовавшись волновым уравнением (8,1), имеем

где H — гамильтониан системы, действующий на функции от , а — тот же оператор, действующий на функции от Функции можно ввести под знаки операторов соответственно и, таким образом, получим искомое уравнение

Пусть — волновые функции стационарных состояний скстемы, т. е. собственные функции гамильтониана. Разложим матрицу плотности по этим функциям; разложение представляет собой двойной ряд

(14,6)

Это разложение играет для матрицы плотности роль, аналогичную роли разложения для волновых функций. Вместо совокупности коэффициентов мы имеем здесь двойную совокупность коэффициентов Эти величины обладают, очевидно, как и сама матрица плотности, свойством эрмитовости

Для среднего значения некоторой величины имеем, подставляя (14,6) в (14,4):

или

(14,8)

где — матричные элементы величины

Это выражение аналогично формуле (11,1).

Величины должны удовлетворять определенным неравенствам. «Диагональные элементы» матрицы плотности, определяющие распределение вероятности для координат, должны, очевидно, быть величинами положительными. Из выражения (14,6) (с ) поэтому следует, что построенная на коэффициентах квадратичная форма вида

(где — произвольные комплексные величины) должна быть существенно положительной. Это накладывает на величины известные из теории квадратичных форм условия. В частности, должны быть положительными все диагональные элементы

а каждые три величины должны удовлетворять неравенству

«Чистому» случаю, в котором матрица плотности сводится к произведению функций, соответствует матрица вида

(14,11)

Укажем простой критерий, позволяющий легко определить по матрице имеем ли мы дело с «чистым» или «смешанным» состоянием. В чистом случае имеем

или

(14,12)

т. е. квадрат матрицы плотности совпадает с ней самой.