§ 3. Операторы

Рассмотрим некоторую физическую величину , характеризующую состояние квантовой системы. Строго говоря, в нижеследующих рассуждениях следовало бы говорить не об одной величине, а сразу о целом полном их наборе. Однако все рассуждения от этого по существу не меняются, и в целях краткости и простоты мы говорим ниже всего лишь об одной физической величине.

Значения, которые может принимать данная физическая величина, называют в квантовой механике ее собственными значениями, а об их совокупности говорят как о спектре собственных значений данной величины.

В классической механике величины пробегают, вообще говоря, непрерывный ряд значений. В квантовой механике тоже существуют физические величины (например, координаты), собственные значения которых заполняют непрерывный ряд; в таких случаях говорят о непрерывном спектре собственных значений. Наряду с такими величинами в квантовой механике существуют, однако, и другие, собственные значения которых образуют некоторый дискретный набор; в таких случаях говорят о дискретном спектре.

Будем считать сначала для простоты, что рассматриваемая величина обладает дискретным спектром; случай непрерывного спектра рассматривается в § 5. Собственные значения величины f обозначим как где индекс пробегает значения Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина f имеет значение посредством Волновые функции называют собственными функциями данной физической величины Каждая из этих функций предполагается нормированной, так что

Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией , то произведенное над нею измерение величины f даст в результате одно из собственных значений . В соответствии с принципом суперпозиции можно утверждать, что волновая функция должна представлять собой линейную комбинацию тех из собственных функций которые соответствуют значениям могущим быть обнаруженными с отличной от нуля вероятностью при измерении, произведенном над системой, находящейся в рассматриваемом состоянии. Поэтому в общем случае произвольного состояния функция может быть представлена в виде ряда

где суммирование производится по всем — некоторые постоянные коэффициенты.

Таким образом, мы приходим к выводу, что всякая волновая функция может быть, как говорят, разложена по собственным функциям любой физической величины. О еистеме функций, по которым можно произвести такое разложение, говорят как о полной системе функций.

Разложение (3,2) дает возможность определить вероятности обнаружения (путем измерений) у системы в состоянии с волновой функцией того или иного значения величины

Действительно, согласно сказанному в предыдущем параграфе, эти вероятности должны определяться некоторыми билинейными по выражениями и потому должны быть билинейными по . Далее, эти выражения, разумеется, должны быть положительными. Наконец, вероятность значения должна обращаться в единицу, если система находится в состоянии с волновой функцией должна обращаться в нуль, если в разложении (3,2) волновой функции Т отсутствует член с данной Единственной существенно положительной величиной, удовлетворяющей этому условию, является квадрат модуля коэффициента Таким образом, мы приходим к результату, что квадрат модуля каждого из коэффициентов разложения (3,2) определяет вероятность соответствующего значения величины f в состоянии с волновой функцией . Сумма вероятностей всех возможных значений должна быть равна единице; другими словами, должно иметь место соотношение

Если бы функция не была нормирована, то не имело бы места также и соотношение (3,3). Сумма должна была бы при этом определяться некоторым выражением, билинейным по и обращающимся в единицу при нормированном .

Таковым является только интеграл . Таким образом, должно иметь место равенство

С другой стороны, умножив на разложение комплексно сопряженной с функции и проинтегрировав, получим

Сравнивая это с (3,4), имеем

откуда находим следующую формулу, определяющую коэффициенты разложения функции по собственным функциям

Если подставить сюда (3,2), то получим

откуда видно, что собственные функции должны удовлетворять условиям

где при и при . О факте обращения в нуль интегралов от произведений с говорят как о взаимной ортогональности функций Таким образом, совокупность собственных функций образует полную систему нормированных и взаимно ортогональных (или, как говорят для краткости, — ортонормированных) функций.

Введем понятие о среднем значении f величины в данном состоянии. Соответственно обычному определению средних значений определим f как сумму всех собственных значений данной величины, умноженных каждое на соответствующую вероятность

Запишем в виде выражения, которое бы содержало не коэффициенты разложения функции , а самую эту функцию. Поскольку в (3,7) входят произведения апап, то ясно, что искомое выражение должно быть билинейным по . Введем некоторый математический оператор, который мы обозначим как и определим следующим образом. Пусть обозначает результат воздействия оператора f на функцию Мы определим f так, чтобы интеграл от произведения () на комплексно сопряженную функцию был равен среднему значению

Легко видеть, что в общем случае оператор f представляет собой некоторый линейный 2) интегральный оператор. Действительно, воспользовавшись выражением (3,5) для мы можем переписать определение (3,7) среднего значения в виде

Сравнивая с (3,8), мы видим, что результат воздействия оператора f на функцию имеет вид

Если подставить сюда выражение (3,5) для , то мы найдем, что f есть интегральный оператор вида

где функция (так называемое ядро оператора) есть

Таким образом, каждой физической величине в квантовой механике приводится в соответствие определенный линейный оператор.

Из (3,9) видно, что если функцией является одна из собственных функций (так что все кроме одного, равны нулю), то в результате воздействия на нее оператора f эта функция просто умножается на соответствующее собственное значение

Таким образом, собственные функции данной физической величины f являются решениями уравнения

где — постоянная, а собственные значения — это те значения постоянной , при которых написанное уравнение имеет решения, удовлетворяющие требуемым условиям. Как мы увидим ниже, вид операторов для различных физических величин может быть определен из прямых физических соображений, и тогда указанное свойство операторов дает возможность находить собственные функции и собственные значения посредством решения уравнений .

Как собственные значения вещественной физической величины, так и ее средние значения во всяком состоянии — вещественны. Это обстоятельство накладывает определенное ограничение на свойства соответствующих операторов. Приравняв выражение (3,8) комплексно ему сопряженному, получим соотношение

где f обозначает оператор, комплексно сопряженный с

Для произвольного линейного оператора такое соотношение, вообще говоря, не имеет места, так что оно представляет собой некоторое ограничение, накладываемое на возможный вид операторов . Для произвольного оператора f можно указать, как говорят, транспонированный с ним оператор f, определяемый так, чтобы

где — две различные функции. Если выбрать в качестве функции Ф сопряженную с функцию , то сравнение с показывает, что должно быть

Операторы, удовлетворяющие этому условию, называют эрмитовыми. Таким образом, операторы, соответствующие в математическом аппарате квантовой механики вещественным физическим величинам, должны быть эрмитовыми.

Формально можно рассматривать также и комплексные физические величины, т. е. величины, собственные значения которых комплексны. Пусть есть такая величина. Тогда можно ввести комплексно сопряженную с ней величину f, собственные значения которой комплексно сопряжены с собственными значениями f. Оператор, соответствующий величине обозначим посредством . Его называют сопряженным оператору f и его необходимо, вообще говоря, отличать от комплексно сопряженного оператора f. Действительно, по определению оператора среднее значение величины в некотором состоянии есть

С другой стороны, имеем

Приравняв оба выражения, найдем, что

откуда ясно, что вообще говоря, не совпадает с f. Условие (3,15) можно написать теперь в виде

т. е. оператор вещественной физической величины совпадает со своим сопряженным (эрмитовы операторы называют также сопряженными).

Покажем, каким образом можно непосредственно доказать взаимную ортогональность собственных функций эрмитова оператора, соответствующих различным собственным значениям. Пусть — два различных собственных значения вещественной величины — соответствующие им собственные функции:

Умножив обе стороны первого из этих равенств на а равенство, комплексно сопряженное второму, — на и, вычтя эти произведения почленно друг из друга, получим

Проинтегрируем обе части этого равенства по . Поскольку , то в силу (3,14) интеграл от левой части равенства обращается в нуль, так что получим

откуда, ввиду следует искомое свойство ортогональности функций и .

Мы все время говорим здесь только об одной физической величине между тем как следовало бы говорить, как было отмечено в начале параграфа, о полной системе одновременно измеримых физических величин. Тогда мы нашли бы, что каждой из этих величин соответствует свой оператор . Собственные функции соответствуют состояниям, в которых все рассматриваемые величины имеют определенные значения, т. е. соответствуют определенным наборам собственных значений и являются совместными решениями системы уравнений