§ 110. Матричные элементы для аксиально-симметричных систем

Основой для вычисления матричных элементов величин, характеризующих системы типа симметричного волчка, служит выражение интеграла от произведения трех -функций.

Для вывода этой формулы вернемся к разложению (106,11)

и преобразуем обе стороны равенства конечным поворотом системы координат. Каждая из -функций преобразуется согласно (58,7), так что получим

Выразив теперь функции в правой стороне равенства в виде разложения (106,9) и сравнив коэффициенты при одинаковых произведениях получки соотношения

(110,1)

(причем обозначает совокупность трех эйлеровых углов . Выраженная через -символы, эта формула принимает вид

(здесь использовано также свойство -функций (58,19)).

Умножив равенство (110,2) с обеих сторон на и проинтегрировав его по с помощью соотношения ортогональности (58,20), получим

(для большей симметрии здесь произведено очевидное изменение обозначений индексов). Это и есть искомая формула

Пусть — сферический тензор ранга k, характеризующий волчок в связанных с ним координатных осях (ось — по оси волчка); это может быть, например, тензор мультипольного электрического или магнитного момента.

Пусть — компоненты того же тензора относительно неподвижных осей координат Связь между темн и другими определяется матрицей конечных вращений согласно

(110,4)

Волновые функции, описывающие вращение системы как целого, отличаются от -функдий лишь нормирфвкой:

где f — полный момент системы; — его проекция на неподвижную ось ; — проекция на ось системы; фазовый множитель выбран так» чтобы при целочисленном функция (110,5) переходила в собственную функцию свободного момента (ср. (103,8)). Вычисляя по этим функциям матричный элемент величины (110,4) с помощью формулы (110,3) (причем комплексно сопряженная -функция выражается согласно (58, 19)), получим

(причем ).

Эта формула решает поставленную задачу. Она определяет зависимость матричных элементов от моментов и их проекций Что касается зависимости от квантовых чисел то она остается, разумеете», неопределенной: значения этих чисел зависят от «внутренних» состояний системы, между которыми берется «внутренний» матричный элемент

Зависимость матричных элементов (110,6) от чисел естественно, такая же, как для всякой системы с заданным полным моментом. Отделив эту зависимость введением приведенных матричных элементов согласно (107,6), получим для последних выражение

Квадрат модуля матричного элемента (110,6), просуммированный по всем значениям конечного числа (и по ) при заданном m, не зависит от значения и равен, по общему правилу (107,11):

(110,8)

Соотношения эрмитовости (107,9) для приведенных матричных элементов в координатах хуz (110,7), как и следовало, находятся в согласии с соотношениями (107,8)

для матричных элементов в координатах

Вращение таких аксиально-симметричных систем, как двухатомная молекула (или аксиальное ядро), описывается всего двумя углами определяющими направление оси системы. Вращательная волновая функция отличается в этом случае от (110,5) отсутствием множителя примечание на стр. 376). Это изменение, однако, не отражается на матричных элементах: поскольку зависимость функций от сводится к множителю , то формулу (110,3) можно переписать в виде

(где ) и результат вычисления интеграла не меняется. При этом правило отбора по проекции момента на ось системы соблюдается в прежнем виде возникая (как следствие симметрии молекулы относительно оси ) в результате ортогональности электронных волновых функций. В формулах (110,6), (110,7) под надо понимать теперь матричные элементы по отношению к электронным состояниям при неподвижных ядрах.