§ 93. Точечные группы

Преобразования, входящие в состав группы симметрии тела конечных размеров (в частности, молекулы), должны быть такими, чтобы по крайней мере одна точка тела оставалась неподвижной при применении любого из этих преобразований. Другими словами, все оси и плоскости симметрии молекулы должны иметь по крайней мере одну общую точку пересечения. Действительно, последовательный поворот тела вокруг двух непересекающихся осей или отражение в непересекающихся плоскостях приводит к поступательному перемещению тела, которое, очевидно, не может совместить его с самим собой.

Группы симметрии, обладающие указанным свойством, называются точечными группами.

Перед тем как перейти к построению возможных типов точечных групп, изложим простой геометрический способ, позволяющий легко произвести распределение элементов группы по классам. Пусть Оа есть некоторая ось, а элемент группы А есть поворот вокруг этой оси на определенный угол. Пусть, далее, G есть преобразование из той же группы (поворот или отражение), которое, будучи применено к самой оси Оа, переводит ее в положение Оb. Покажем, что элемент отвечает тогда повороту вокруг оси Оb на тот же угол, на который элемент А поворачивает вокруг Оа. Действительно, рассмотрим воздействие преобразования на саму ось Оb. Преобразование обратное G, переводит ось Оb в положение Оа, так что последующий поворот А оставляет ее в этом положении; наконец, G переведет ее обратно в исходное положение. Таким образом, ось Оb остается в результате на месте, так что В есть поворот вокруг этой оси. Поскольку А и В относятся к одному классу, то порядок этих элементов одинаков; это значит, что они производят поворот на одинаковый угол.

Таким образом, мы приходим к результату, что два поворота на одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно таким же образом можно показать, что и два отражения в различных плоскостях относятся к одному классу, если какое-либо преобразование группы переводит одну плоскость в другую. О самих осях или плоскостях симметрии, направления которых могут быть совмещены друг с другом, говорят как об эквивалентных.

Некоторые дополнительные замечания требуются для случая, когда оба поворота производятся вокруг одной и той же оси.

Элементом, обратным повороту вокруг оси симметрии порядка, является элемент поворот на угол ( ) в том же направлении, или, что то же, поворот на угол в обратном направлении. Если в числе преобразований группы имеется поворот на угол вокруг перпендикулярной оси (такой поворот меняет направление рассматриваемой оси на противоположное), то, согласно доказанному общему правилу, повороты С и будут относиться к одному классу. Отражение в плоскости, перпендикулярной к оси, тоже меняет ее направление на обратное; однако надо иметь в виду, что отражение меняет также и направление вращения. Поэтому наличие не сделает элементы сопряженными. Отражение же в плоскости, проходящей через ось, не меняет направления оси, но меняет направление вращения, и потому , так что при наличии такой плоскости симметрии и относятся к одному классу.

Если повороты вокруг оси на, одинаковый угол в противоположных направлениях сопряжены, то мы будем называть ось двухсторонней.

Определение классов точечной группы часто облегчается еле дующим правилом. Пусть G есть некоторая группа, не содержащая инверсии — группа из двух элементов: и Е. Тогда прямое произведение О X С, есть группа, содержащая вдвое больше элементов, чем G; половина из них совпадает с элементами группы G, а остальные получаются умножением последних на I. Поскольку I коммутирует с любым другим преобразованием точечной группы, то ясно, что группа содержит вдвое больше классов, чем G; каждому классу А группы G соответствуют в группе два класса: . В частности, инверсия всегда составляет сама по себе класс.

Перейдем теперь к перечислению всех возможных точечных групп. Мы будем строить их, начиная от простейших и прибавляя к ним новые элементы симметрии. Точечные группы будем обозначать жирными латинскими буквами с соответствующими индексами.

I. Группы

Простейший тип симметрии содержит всего одну ось симметрии порядка. Группа есть группа поворотов вокруг оси порядка. Эта группа, очевидно, циклическая. Каждый из ее элементов составляет сам по себе класс. Группа содержит только тождественное преобразование Е и соответствует отсутствию какой бы то ни было симметрии.

II. Группы

Это — группа поворотов вокруг зеркально-поворотной оси четного порядка Она содержит элементов и является, очевидно, циклической. В частности, группа содержит всего два элемента: Е и ее обозначают также посредством Отметим также, что если порядок группы есть число вида то среди ее элементов имеется инверсия; очевидно, что Такую группу можно написать в виде прямого произведения: ее обозначают также и посредством

III. Группы

Эти группы получаются присоединением к оси симметрии порядка перпендикулярной к ней плоскости симметрии. Группа содержит элементов: поворотов группы и зеркальноповоротных преобразований (в том числе отражение

Все элементы группы коммутативны, т. е. группа абелева; число классов равно числу элементов. Если — четно ), то группа содержит центр симметрии (так как ). Простейшая группа содержит всего два элемента: Е и ее обозначают также посредством

IV. Группы

Если присоединить к оси симметрии порядка проходящую через нее плоскость симметрии, то это автоматически приведет к появлению еще () плоскостей, пересекающихся друг с другом вдоль оси под углами (это следует непосредственно из геометрической теоремы Получающаяся при этом группа содержит, следовательно, элементов: поворотов вокруг оси порядка и отражений в вертикальных плоскостях.

Рис. 34

На рис. 34 изображены в качестве примера системы осей и плоскостей симметрии групп

Для определения классов замечаем, что благодаря наличию проходящих через ось симметрии плоскостей симметрии эта ось двусторонняя. Фактическое распределение элементов по классам различно при четных и нечетных .

Если нечетно то последовательные повороты совмещают каждую из плоскостей последовательно со всеми остальными плоскостями, так что все плоскости симметрии эквивалентны и отражения в них входят в один класс.

Среди поворотов вокруг оси имеется операций, отличных от тождественной, которые попарно сопряжены друг с другом, образуя классов по два элемента ; кроме того, Е составляет еще один отдельный класс. Таким образом, имеется всего классов.

Если же четно ), то последовательными поворотами можно совместить лишь чередующиеся через одну плоскости; две соседние плоскости не могут быть совмещены друг с другом. Таким образом, имеются два набора по эквивалентных плоскостей и соответственно два класса по элементов (отражений) в каждом. Что касается поворотов вокруг оси, то составляют каждый сам по себе класс, а остальные поворотов попарно сопряжены и дают еще классов по два элемента. Всего группа имеет, следовательно, классов.

V. Группы

Если к оси симметрии порядка присоединить перпендикулярную ей ось второго порядка, то это приведет к появлению еще () таких же осей, так что будет всего горизонтальных осей второго порядка, пересекающихся под углами Получающаяся группа содержит элементов: поворотов вокруг оси порядка и поворотов на угол я вокруг горизонтальных осей (условимся обозначать последние посредством оставив обозначение для поворота на угол я вокруг вертикальной оси). На рис. 34 изображены в качестве примера системы осей групп

Совершенно аналогично предыдущему случаю, убеждаемся, что ось порядка является двусторонней, а горизонтальные оси второго порядка все эквивалентны, если нечетно, или образуют два неэквивалентных набора, если четно. Следовательно, группа имеет следующие классов: Е, 2 класса по поворотов в каждом, поворот и () классов по два поворота вокруг вертикальной оси. Группа же имеет классов: поворотов классов по два поворота вокруг вертикальной оси.

Важным частным случаем является группа Ее система осей складывается из трех взаимно перпендикулярных осей второго порядка. Эту группу обозначают также посредством

VI. Группы

Если добавить к системе осей группы горизонтальную плоскость симметрии, проходящую через осей второго порядка, то при этом автоматически появится вертикальных плоскостей, каждая из которых проходит через вертикальную ось и одну из горизонтальных осей.

Получающаяся при этом группа содержит элементов; кроме элементов группы в нее входят еще отражений зеркально-поворотных преобразований . На рис. 35 изображена система осей и плоскостей группы

Рис. 35

Отражение коммутативно со всеми остальными элементами группы; поэтому можно написать в виде прямого произведения где есть группа из двух элементов Е и

При четном о в числе элементов группы имеется инверсия, и можно написать также .

Отсюда следует, что число классов в группе равно удвоенному числу классов в группе Половина из них совпадает с классами группы (повороты вокруг осей), а остальные получаются из них умножением на Отражения в вертикальных плоскостях относятся все к одному классу (если нечетно) или образуют два класса (при четном ). Зеркально-поворотные преобразования попарно сопряжены друг с другом.

VII. Группы

Присоединить плоскости симметрии к системе осей группы можно еще одним способом. Именно, можно провести их вертикально через ось порядка посредине между каждыми двумя соседними горизонтальными осями второго порядка. Опять присоединение одной такой плоскости влечет за собой появление еще () плоскостей. Получающаяся система осей и плоскостей симметрии определяет группу (на рис. 35 изображены оси и плоскости групп ).

Группа содержит элементов. К элементам группы присоединяется отражений в вертикальных плоскостях (обозначаемых посредством — «диагональные» плоскости) и преобразований вида

Для того чтобы выяснить характер последних, замечаем, что поворот можно, согласно (91,6), написать в виде , где — отражение в вертикальной плоскости, проходящей через данную ось второго, порядка; тогда (преобразований самих по себе в числе элементов группы, разумеется, нет). Поскольку плоскости отражений пересекаются друг с другом вдоль оси порядка, образуя угол где (поскольку здесь угол между соседними плоскостями равен ), то, согласно (91,6), имеем Таким образом, находим, что т. е. эти элементы представляют собой зеркально-поворотные преобразования вокруг вертикальной оси, оказывающейся, следовательно, не простой осью симметрии порядка, а зеркально-поворотной осью порядка.

Диагональные плоскости отражают две соседние горизонталь-, оси второго порядка друг в друга; поэтому в рассматриваемых группах все оси второго порядка эквивалентны (как при четных, так и при нечетных ). Аналогично, эквивалентны все диагональные плоскости. Зеркально-поворотные преобразования и попарно сопряжены друг с другом.

Применяя эти соображения к группе находим, что она содержит следующие классов: Е, поворот вокруг оси порядка, () классов по два сопряженных поворота вокруг той же оси, класс поворотов класс отражений и классов по два зеркально-поворотных преобразования.

При нечетном в числе элементов группы имеется инверсия (это видно из того, что одна из горизонтальных осей в этом случае перпендикулярна к вертикальной плоскости). Поэтому можно написать так что группа содержит классов, получающихся непосредственно из классов группы

VIII. Группа Т (группа тетраэдра)

Система осей этой группы есть система осей симметрии тетраэдра. Она может быть получена добавлением к системе осей группы V четырех наклонных осей третьего порядка, повороты вокруг которых переводят три оси второго порядка друг в друга. Эту систему осей удобно представить, изображая три оси второго порядка как проходящие через центры противоположных граней куба, а оси третьего порядка — как пространственные диагонали этого куба.

На рис. 36 изображено расположение этих осей в кубе и в тетраэдре (по одной оси каждого типа).

Рис. 36

Рис. 37

Три оси второго порядка эквивалентны между собой. Оси третьего порядка тоже эквивалентны, так как переводятся друг в друга поворотами но они не являются двусторонними осями. Отсюда следует, что 12 элементов в группе Т распределяются по четырем классам: Е, три поворота четыре поворота и четыре поворота

IX. Группа

Эта группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Систему ее осей и плоскостей можно получить, добавляя к осям группы Т плоскости симметрии, каждая из которых проходит через одну ось второго и две оси третьего порядков. При этом оси второго порядка становятся граней куба, четыре оси третьего порядка, как его пространственные диагонали, шесть плоскостей симметрии проходящими через каждую пару противоположных ребер (на рис. 37 изображено по одному из каждого рода осей и плоскостей).

Поскольку плоскости симметрии вертикальны по отношению к осям третьего порядка, то последние являются двусторонними осями. Все оси и плоскости каждого рода эквивалентны. Поэтому 24 элемента группы распределяются по следующим 5 классам: Е, восемь поворотов шесть отражений в плоскостях, шесть зеркально-поворотных преобразований три поворота зеркально-поворотными осями четвертого порядка (подобно тому как это имеет место в группе ). Эту систему удобно представить, рисуя три зеркальноповоротные оси проходящими через центры противоположных

X. Группа

Эта группа получается из Т добавлением центра симметрии! . В результате появляются три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, проходящие через каждые две оси второго порядка, а оси третьего порядка становятся зеркальноповоротными осями шестого порядка (на рис. 38 изображено по одной из этих осей и плоскостей).

Группа содержит 24 элемента, распределенных по 8 классам, непосредственно получающимся из классов группы Т.

XI. Группа О (группа октаэдра)

Системой осей этой группы является система осей симметрии куба: три оси четвертого порядка проходят через центры противоположных граней, четыре оси третьего порядка — через противоположные вершины и шесть осей второго порядка — через середины противоположных ребер (рис. 39).

Легко видеть, что все оси одинакового порядка эквивалентны и каждая из них — двусторонняя. Поэтому 24 элемента распределяются по следующим 5 классам: Е, восемь поворотов и шесть поворотов три поворота и шесть поворотов

XII. Группа

Это есть группа всех преобразований симметрии куба. Она получается добавлением к группе О центра симметрии:

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Оси третьего порядка группы О превращаются при этом в зеркально-поворотные оси шестого порядка (пространственные диагонали куба); кроме того, появляются еще шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер, и три плоскости, параллельные граням куба (рис. 40).

Группа содержит 48 элементов, распределенных по 10 классам, которые могут быть непосредственно получены из классов группы О. Именно, 5 совпадают с классами группы О, а остальными являются: I; восемь зеркально-поворотных преобразований и ; шесть зеркально-поворотных преобразований вокруг осей четвертого порядка; три отражения в плоскостях, горизонтальных по отношению к осям четвертого порядка; шесть отражений в плоскостях, вертикальных по отношению к этим осям.

XIII, XIV. Группы (группы икосаэдра)

Эти группы осуществляются в природе в качестве групп симметрии молекул лишь в исключительных случаях. Поэтому мы ограничимся здесь указанием, что Y есть группа 60 поворотов вокруг осей симметрии икосаэдра (правильного -гранника с треугольными гранями) или пентагонального додекаэдра (правильного -гранника с пятиугольными гранями), причем имеется 6 осей пятого порядка, 10 — третьего и 15 — второго. Группа получается добавлением центра симметрии: и представляет собой полную группу преобразований симметрии указанных многогранников.

Этим исчерпываются все возможные типы точечных групп, содержащих конечное число элементов. В дополнение к ним надо рассмотреть так называемые непрерывные точечные группы, содержащие бесконечное число элементов. Это будет сделано в § 98.