ГЛАВА XIV. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ

§ 106. 3j-символы

Полученное в § 31 правило сложения моментов определяет возможные значения полного момента системы, состоящей из двух частиц (или более сложных частей), обладающих моментами . Это правило в действительности тесно связано со свойствами волновых функций по отношению к пространственным вращениям и непосредственно следует из свойств спиноров.

Волновые функции частиц с моментами представляют собой симметричные спиноры рангов и 2/2, а волновая функция системы дается их произведением

(106,1)

Симметризуя это произведение по всем индексам, получим симметричный спинор ранга , отвечающий состоянию с полным моментом Далее, упростим произведение (106,1) по одной паре индексов, из которых один должен принадлежать а другой — (в противном случае получится нуль); при этом, в силу симметрии каждого из спиноров (1) и безразлично, какие именно берутся индексы из . После симметризации получим симметричный спинор ранга отвечающий состоянию с моментом .

Продолжая этот процесс, мы найдем в соответствии с известным уже нам правилом, что j пробегает значения от до причем каждое по одному разу.

С математической точки зрения, речь идет здесь о разложении прямого произведения двух неприводимых представлений группы вращений (с размерностями ) на неприводимые части. В этих терминах правило сложения моментов записывается в виде разбиения

Для полного решения задачи о сложении моментов мы должны еще рассмотреть вопрос о составлении волновой функции системы с заданным значением полного момента по волновым функциям составляющих ее двух частиц.

Начнем с наиболее простого случая сложения двух моментов в равный нулю суммарный момент. При этом, очевидно, должно быть а проекции моментов . Пусть — нормированные волновые функции состояний одной частицы с моментом и его проекцией (в неспинорном представлении). Искомая волновая функция системы представляет собой сумму произведений волновых функций обеих частиц с противоположными значениями :

— общее значение и Множитель перед суммой есть результат нормировки. Что касается коэффициентов в сумме, то все они должны быть одинаковы по своей абсолютной величине — уже в силу того, что все значения проекций моментов частиц равновероятны. Порядок же чередования знаков в (106,2) легко найти с помощью спинорного представления волновых функций. В снинорных обозначениях сумма в (106,2) представляет собой скаляр (полный момент системы равен нулю!)

составленный из двух спиноров ранга Заметив это, мы найдем знаки в (106,2) непосредственно из формулы (57,3).

Следует, однако, иметь в виду, что однозначными являются, вообще говоря, лишь относительные знаки членов суммы (106,2), общий же знак может оказаться зависящим от «порядка сложения» моментов. Действительно, если опустить все спинорные индексы (среди которых единиц и двоек) и поднять то скаляр (106,3) умножится на т. е. при полуцелом изменит знак.

Далее, рассмотрим систему с равным нулю полным моментом, составленную из трех частиц с моментами и их проекциями

Условие равенства полного момента нулю подразумевает, что имеют такие значения, что каждое из них может получиться в результате векторного сложения двух других, т. е. геометрически должны быть сторонами замкнутого треугольника; другими словами, каждое из них не меньше разности и не больше суммы двух других;

Очевидно, что алгебраическая сумма является при этом целым числом.

Волновая функция рассматриваемой системы имеет вид суммы

взятой по значениям каждого из в пределах от до . Коэффициенты в этой формуле называют -символами Вигнера. По определению, они отличны от нуля только при условии

При перестановке индексов 1, 2, 3 волновая функция (106,4) может измениться лишь на несущественный фазовый множитель. Фактически -символы могут быть определены как чисто вещественные (см. ниже) и тогда неоднозначность может заключаться лишь в неопределенности ее общего знака (как это имеет место и для функции (106,2)). Это значит, что перестановка колонок -символа может либо оставлять его неизменным, либо менять его знак.

Наиболее симметричный способ определения коэффициентов в сумме (106,4), которым и принято определять -символы, заключается в следующем. В спинорных обозначениях представляет собой скаляр, составленный как произведение трех спиноров упрощенное по всем парам индексов, каждая из которых относится к двум различным спинорам. Условимся, что в каждой паре, относящейся к частицам и 2, спинорный индекс будет писаться сверху у и снизу у в паре, относящейся к частицам 2 и 3, — сверху у и снизу у в паре, относящейся к частицам 3 и — сверху у и снизу у (легко подсчитать, что всего имеется соответственно пар каждого из этих «сортов»). Этим правилом знак устанавливается однозначно.

Очевидно, что при таком определении циклическая перестановка индексов 1, 2, 3 оставляет неизменной. Это значит, что -символ не меняется при циклической перестановке его столбцов. Перестановка же двух (любых) индексов приведет, как легко сообразить, к необходимости поднять нижние и опустить верхние индексы во всех парах.

Это значит, что умножится на другими словами, -символы обладают свойством

(106,5)

т. е. меняют знак при перестановке двух колонок, если — нечетное число.

Наконец, легко видеть, что

Действительно, изменение знака -компонент всех моментов может рассматриваться как результат поворота на угол я вокруг оси у. Но такое преобразование эквивалентно поднятию всех нижних и опусканию всех верхних спинорных индексов (см. (58,5)).

От выражения (106,4) можно перейти к важной формуле, определяющей волновую функцию системы, состоящей из двух частиц и обладающей заданными значениями и т. Для этого будем рассматривать совокупность частиц и 2 как одну систему. Поскольку момент j этой системы вместе с моментом частицы 3 складывается в равный нулю суммарный момент, должно быть . Согласно (106,2) можно тогда написать

(106,7)

Эту формулу надо сравнить с выражением (106,4) (в котором пишем вместо ). При этом, однако, надо предварительно учесть, что правило составления суммы в (106,7) согласно (106,3) не соответствует правилу составления суммы (106,4): для приведения (106,7) к (106,4) надо, как легко сообразить, переставить верхние и нижние индексы в парах, соответствующих частицам 1 и 3; это приводит к появлению дополнительного множителя В результате получим

где суммирование по производится с учетом условия

Формула (106,8) дает искомое разложение волновой функции системы по волновым функциям обеих частиц, обладающих определенными моментами . Ее можно записать в виде

(106,9)

Коэффициенты

(106,10)

составляют матрицу преобразования от полной ортонормированной системы волновых функций состояний к такой же системе волновых функций состояний (при заданных значениях ). Их называют коэффициентами векторного сложения или коэффициентами Клебша—Гордана. Обозначение символом соответствует общему способу обозначений коэффициентов разложения одной системы функций по другой согласно (11,18). Для упрощения записи мы опустили в этом символе совпадающие в обеих системах функций квантовые числа при необходимости эти числа включаются в обозначение:

Матрица преобразования (106,9) унитарна (см. § 12). Поэтому коэффициенты обратного преобразования

комплексно сопряжены с коэффициентами преобразования (106,9). Мы увидим ниже, что эти коэффициенты вещественны; поэтому просто

Согласно общим правилам квантовой механики квадраты коэффициентов разложения (106,11) определяют вероятности системе иметь те или иные значения (при заданных ).

Унитарность преобразования (106,9) означает, что его коэффициенты удовлетворяют определенным условиям ортогональности. Согласно формулам имеем

(106,13)

Явное общее выражение -символов довольно громоздко. Оно может быть представлено в виде

Суммирование производится по всем целым числам ; однако, поскольку факториал отрицательного числа равен , число членов в сумме фактически конечно. Коэффициент перед суммой явно симметричен по индексам 1, 2, 3; симметрия же суммы выявляется после соответствующего переобозначения переменной суммирования 2.

Помимо свойств симметрии (106,5), (106,6), следующих простым образом из определения -символов, последние обладают еще и другими свойствами симметрии, вывод которых, однако, более сложен, и мы его здесь не приводим. Эти свойства удобно формулировать, если ввести квадратную (3x3) таблицу чисел, связанных с параметрами -символа следующим образом:

(106,15)

(сумма чисел в каждой строке и каждом столбце этой таблицы равна ).

Тогда: 1) перестановка любых двух столбцов таблицы умножает -символ на (это свойство совпадает с (106,5)); 2) то же справедливо для перестановки любых двух строк (в отношении двух нижних строк это свойство совпадает с (106,6)); 3) -символ не меняется при замене строк таблицы ее столбцами.

Выпишем ряд более простых формул для некоторых частных случаев, Значение

соответствует формуле (106,2). Формулы

получаются непосредственно из (106,14). Вывод же формулы

где

есть четное число, требует ряда дополнительных вычислений (при нечетном этот -символ равен нулю в силу свойства симметрии (106,6)).

В табл. 9 приведены, для справок, значения -символ он для . Для каждого указано минимальное число -символов, из которых с помощью соотношений (106,5), (106,6) можно получить остальные.

Таблица 9. Формулы для 3j-символов

(см. скан)

Таблица 9 (продолжение)

Задача

Определить угловую зависимость волновых функций частицы со спином 1/2 в состояниях с заданными значениями орбитального момента l, полного момента и его проекции .

Решение. Задача решается общей формулой (106,8), в которой надо под понимать собственные функции орбитального момента (т. е. сферические функции ), а под — спиновую волновую функцию (где ):

Подставив значения -символов, получим