Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 52. Вероятность перехода в квазиклассическом случае

Прохождение через потенциальный барьер является примером процесса, который в классической механике вообще невозможен. В квазиклассическом случае вероятность таких процессов экспоненциально мала. Соответствующий показатель экспоненты может быть определен следующим образом.

Рассматривая переход какой-либо системы из одного состояния в другое, решаем соответствующие классические уравнения движения и находим «траекторию» перехода, оказывающуюся, однако, комплексной в соответствии с неосуществимостью процесса в классической механике. В частности, оказывается, вообще говоря, комплексной «точка перехода» , в которой имеет место формальный переход системы из одного состояния в другое; положение этой точки определяется классическими законами сохранения. Далее, вычисляем действие для движения системы в первом состоянии от некоторого исходного положения до «точки перехода» и затем во втором состоянии от до окончательного положения Искомая вероятность процесса определится тогда формулой

Если положение «точки перехода» неоднозначно, должно быть выбрано то из них, для которого показатель в (52,1) имеет наименьшее по абсолютной величине значение (в то же время, разумеется, это значение должно быть достаточно велико для того, чтобы формула (52,1) была вообще применима)

Формула (52,1) находится в соответствии с полученным в предыдущем параграфе правилом вычисления квазиклассических матричных элементов.

Следует, однако, подчеркнуть, что вычисление предэкспоненциальносо коэффициента в вероятности такого рода переходов по квадрату соответствующего матричного элемента было бы неправильным.

Основанный на формуле (52,1) метод комплексных классических траекторий имеет общий характер и применим к переходам в системах с любым числом степеней свободы (Л. Д. Ландау, 1932). Если точка перехода вещественна, но лежит в классически недоступной области, то (в простейшем случае одномерного движения) формула (52,1) совпадает с выражением (50,5) для вероятности прохождения через потенциальный барьер.

Надбарьерное отражение

Применим (52,1) к одномерной задаче о надбарьерном отражении — отражению частицы с энергией, превосходящей высоту барьера. В этом случае под надо понимать комплексную координату «точки остановки», в которой частица меняет направление своего движения на обратное, т. е. комплексный корень уравнения

Покажем, каким образом в этом случае можно вычислить коэффициент отражения также и с большей точностью — вместе с предэкспоненциальным коэффициентом.

Рис. 19

Мы снова (как и в § 50) должны установить соответствие между волновыми функциями далеко справа (прошедшая волна) и далеко слева от барьера (падающая Ч- отраженная волны). Это легко сделать способом, аналогичным примененному уже в § 47, 50, рассматривая как функцию комплексной переменной х.

Напишем прошедшую волну в виде

(где — какая-либо точка на вещественной оси) и проследим за ее изменением при обходе в верхней полуплоскости по пути С, огибающему (на достаточном удалении) точку поворота (рис. 19); последняя часть этого пути должна проходить целиком в настолько удаленной влево области, чтобы вдоль нее погрешность приближенной (квазиклассической) волновой функции падающей волны была меньше искомой малой величины Обход точки приводит к изменению знака корня и. по возвращении на вещественную ось функция перейдет, следовательно, в волну распространяющуюся влево, т. е. в отраженную волну.

Поскольку амплитуды падающей прошедшей волн можно считать совпадающими, искомый коэффициент отражения R определится просто как отношение квадратов модулей

После того, как эта формула получена, можно любым образом деформировать путь интегрирования в экспоненте; если превратить его в указанный на рис. 19 путь С, то интеграл сведется к удвоенному интегралу по пути от до и мы получим

поскольку на всей вещественной оси функция вещественна, то выбор несуществен. Обратим внимание то, что предэкспоненциальный коэффициент в (52,3) оказывается равным единице (В. Л. Покровский, С. К. Саввиных, Ф. Р. Улинич, 1958).

Как уже указывалось, из всех возможных значений должно быть выбрано то, для которого показатель в (52,3) имеет наименьшее по абсолютной величине значение, причем это значение должно еще быть достаточно большим по сравнению с единицей.

(Разумеется, должны рассматриваться лишь точки для которых т. е. точки, лежащие в верхней полуплоскости.) Подразумевается также, что если сама потенциальная энергия имеет особые точки в верхней полуплоскости, то для них интеграл имеет большие значения. В противном случае именно такая точка определит значение показателя, что пред экспоненциальный коэффициент будет уже не тем, что в (52,3).

Последнее условие заведомо нарушается при увеличении энергии , если обращается в бесконечность где-либо в верхней полуплоскости: наступает момент, когда точка в которой , настолько сближается с точкой в которой что обе дают сравнимый вклад в коэффициент отражения (интеграл ) и формула (52,3) становится неприменимой. В предельном случае, когда Е настолько велико, что указанный интеграл мал по сравнению с единицей становится применимой теория возмущений (см. задачу

Задачи

1. В квазиклассическом приближении с экспоненциальной точностью определить вероятность распада дейтрона при, столкновении с тяжелым ядром, рассматриваемым как неподвижный центр кулонова поля (Е. М. Лифшиц, 1939).

Решение. Наибольший вклад в вероятность реакции вносят столкновения с нулевым орбитальным моментом. В квазиклассическом приближении это — «лободые» столкновения, в которых движение частиц сводится, к одномерному.

Пусть Е — энергия дейтрона, измеренная в единицах 8 — энергии связи протона и нейтрона в нем; — энергии освободившихся нейтрона и про тона (в тех же единицах). Введем тькже безрамерную координату — заряд ядра), а ее значение (вообще говоря, комплексное) - в «точке перехода», т. е. в «момент распада» дейтрона, обозначим через Представим в виде

— «скорости» частиц в момент распада, измеренные в единицах ( — масса нуклона); вещественна и совпадает со скоростью освободившегося нейтрона, а комплексны. Условия сохранения энергии и импульса в точке перехода дают

откуда

Действие системы до перехода отвечает движению дейтрона в поле ядра до точки распада; его мнимая часть

После перехода действие отвечает движению нейтрона и протона от гочки распада:

Согласно (52,1) вероятность процесса

В соответствии с происхождением первого и второго в квадратных скобках: из выражений (4) и (3) знаки их мнимых частей должны совпадать со знаками соответственно (знаки же последних в решении уравнений (2) выбраны так, чтооы в результате получилось

В виду экспоненциального характера зависимости w от суммарная вероятность распада (со всеми значениями ) определяется минимальным (по абсолютной величине) значением показателя экспоненты как функции от Анализ показывает, что это значение достигается при При этом и из (5) находим

Условие применимости этой формулы состоит в большой (по сравнению с единицей) величине показателя экспоненты.

Вычислив мнимую часть действия при отличных от нуля значениях можно найти распределение освобождающихся частиц по энергиям. Вблизи значения имеем

Вычисление производной приводит к результату:

2. Определить коэффициент надбарьерного отражения при таких энергиях частицы, когда применима теория возмущений.

Решение получается по формуле (43,1), в которой начальная и конечная волновые функции — плоские волны, распространяющиеся в противоположных направлениях и нормированные соответственно на единичную плотность потока и на -функцию импульса, деленного на

При этом где — импульс после отражения. Произведя в (43,1) интегрирование по (с учетом наличия -функции), получим

Эта формула справедлива, если выполняется условие применимости теории возмущений: , где а — ширина барьера (см. примечание на стр. 199), и в то же время . Последнее условие обеспечивает неэкспоненциальный характер зависимости ; в противном случае вопрос о применимости формулы (1) требует дальнейшего исследования.

3. Определить коэффициент надбарьерного отражения от квазиклассического барьера в случае, когда функция при имеет излом.

Решение. Если функция имеет какую-либо особенность при вещественном коэффициент отражения определяется в основном полем вблизи этой точки и для его вычисления можно формально применить теорию возмущений, не требуя при этом соблюдения условия ее применимости при всех достаточно выполнения условия квазиклассичности. Мы приходим тогда к формуле (1) задачи 2 с той лишь разницей, что вместо импульса падающей частицы в ней должно стоять значение функции при .

Выбирая в данном случае точку излома в качестве точки х = 0, имеем вблизи

с различными . Интегрирование по производится путем введения в подынтегральное выражение затухающего множителя (после чего полагаем . В результате найдем

где .

1
Оглавление
email@scask.ru