§ 52. Вероятность перехода в квазиклассическом случае

Прохождение через потенциальный барьер является примером процесса, который в классической механике вообще невозможен. В квазиклассическом случае вероятность таких процессов экспоненциально мала. Соответствующий показатель экспоненты может быть определен следующим образом.

Рассматривая переход какой-либо системы из одного состояния в другое, решаем соответствующие классические уравнения движения и находим «траекторию» перехода, оказывающуюся, однако, комплексной в соответствии с неосуществимостью процесса в классической механике. В частности, оказывается, вообще говоря, комплексной «точка перехода» , в которой имеет место формальный переход системы из одного состояния в другое; положение этой точки определяется классическими законами сохранения. Далее, вычисляем действие для движения системы в первом состоянии от некоторого исходного положения до «точки перехода» и затем во втором состоянии от до окончательного положения Искомая вероятность процесса определится тогда формулой

Если положение «точки перехода» неоднозначно, должно быть выбрано то из них, для которого показатель в (52,1) имеет наименьшее по абсолютной величине значение (в то же время, разумеется, это значение должно быть достаточно велико для того, чтобы формула (52,1) была вообще применима)

Формула (52,1) находится в соответствии с полученным в предыдущем параграфе правилом вычисления квазиклассических матричных элементов.

Следует, однако, подчеркнуть, что вычисление предэкспоненциальносо коэффициента в вероятности такого рода переходов по квадрату соответствующего матричного элемента было бы неправильным.

Основанный на формуле (52,1) метод комплексных классических траекторий имеет общий характер и применим к переходам в системах с любым числом степеней свободы (Л. Д. Ландау, 1932). Если точка перехода вещественна, но лежит в классически недоступной области, то (в простейшем случае одномерного движения) формула (52,1) совпадает с выражением (50,5) для вероятности прохождения через потенциальный барьер.

Надбарьерное отражение

Применим (52,1) к одномерной задаче о надбарьерном отражении — отражению частицы с энергией, превосходящей высоту барьера. В этом случае под надо понимать комплексную координату «точки остановки», в которой частица меняет направление своего движения на обратное, т. е. комплексный корень уравнения

Покажем, каким образом в этом случае можно вычислить коэффициент отражения также и с большей точностью — вместе с предэкспоненциальным коэффициентом.

Рис. 19

Мы снова (как и в § 50) должны установить соответствие между волновыми функциями далеко справа (прошедшая волна) и далеко слева от барьера (падающая Ч- отраженная волны). Это легко сделать способом, аналогичным примененному уже в § 47, 50, рассматривая как функцию комплексной переменной х.

Напишем прошедшую волну в виде

(где — какая-либо точка на вещественной оси) и проследим за ее изменением при обходе в верхней полуплоскости по пути С, огибающему (на достаточном удалении) точку поворота (рис. 19); последняя часть этого пути должна проходить целиком в настолько удаленной влево области, чтобы вдоль нее погрешность приближенной (квазиклассической) волновой функции падающей волны была меньше искомой малой величины Обход точки приводит к изменению знака корня и. по возвращении на вещественную ось функция перейдет, следовательно, в волну распространяющуюся влево, т. е. в отраженную волну.

Поскольку амплитуды падающей прошедшей волн можно считать совпадающими, искомый коэффициент отражения R определится просто как отношение квадратов модулей

После того, как эта формула получена, можно любым образом деформировать путь интегрирования в экспоненте; если превратить его в указанный на рис. 19 путь С, то интеграл сведется к удвоенному интегралу по пути от до и мы получим

поскольку на всей вещественной оси функция вещественна, то выбор несуществен. Обратим внимание то, что предэкспоненциальный коэффициент в (52,3) оказывается равным единице (В. Л. Покровский, С. К. Саввиных, Ф. Р. Улинич, 1958).

Как уже указывалось, из всех возможных значений должно быть выбрано то, для которого показатель в (52,3) имеет наименьшее по абсолютной величине значение, причем это значение должно еще быть достаточно большим по сравнению с единицей.

(Разумеется, должны рассматриваться лишь точки для которых т. е. точки, лежащие в верхней полуплоскости.) Подразумевается также, что если сама потенциальная энергия имеет особые точки в верхней полуплоскости, то для них интеграл имеет большие значения. В противном случае именно такая точка определит значение показателя, что пред экспоненциальный коэффициент будет уже не тем, что в (52,3).

Последнее условие заведомо нарушается при увеличении энергии , если обращается в бесконечность где-либо в верхней полуплоскости: наступает момент, когда точка в которой , настолько сближается с точкой в которой что обе дают сравнимый вклад в коэффициент отражения (интеграл ) и формула (52,3) становится неприменимой. В предельном случае, когда Е настолько велико, что указанный интеграл мал по сравнению с единицей становится применимой теория возмущений (см. задачу

Задачи

1. В квазиклассическом приближении с экспоненциальной точностью определить вероятность распада дейтрона при, столкновении с тяжелым ядром, рассматриваемым как неподвижный центр кулонова поля (Е. М. Лифшиц, 1939).

Решение. Наибольший вклад в вероятность реакции вносят столкновения с нулевым орбитальным моментом. В квазиклассическом приближении это — «лободые» столкновения, в которых движение частиц сводится, к одномерному.

Пусть Е — энергия дейтрона, измеренная в единицах 8 — энергии связи протона и нейтрона в нем; — энергии освободившихся нейтрона и про тона (в тех же единицах). Введем тькже безрамерную координату — заряд ядра), а ее значение (вообще говоря, комплексное) - в «точке перехода», т. е. в «момент распада» дейтрона, обозначим через Представим в виде

— «скорости» частиц в момент распада, измеренные в единицах ( — масса нуклона); вещественна и совпадает со скоростью освободившегося нейтрона, а комплексны. Условия сохранения энергии и импульса в точке перехода дают

откуда

Действие системы до перехода отвечает движению дейтрона в поле ядра до точки распада; его мнимая часть

После перехода действие отвечает движению нейтрона и протона от гочки распада:

Согласно (52,1) вероятность процесса

В соответствии с происхождением первого и второго в квадратных скобках: из выражений (4) и (3) знаки их мнимых частей должны совпадать со знаками соответственно (знаки же последних в решении уравнений (2) выбраны так, чтооы в результате получилось

В виду экспоненциального характера зависимости w от суммарная вероятность распада (со всеми значениями ) определяется минимальным (по абсолютной величине) значением показателя экспоненты как функции от Анализ показывает, что это значение достигается при При этом и из (5) находим

Условие применимости этой формулы состоит в большой (по сравнению с единицей) величине показателя экспоненты.

Вычислив мнимую часть действия при отличных от нуля значениях можно найти распределение освобождающихся частиц по энергиям. Вблизи значения имеем

Вычисление производной приводит к результату:

2. Определить коэффициент надбарьерного отражения при таких энергиях частицы, когда применима теория возмущений.

Решение получается по формуле (43,1), в которой начальная и конечная волновые функции — плоские волны, распространяющиеся в противоположных направлениях и нормированные соответственно на единичную плотность потока и на -функцию импульса, деленного на

При этом где — импульс после отражения. Произведя в (43,1) интегрирование по (с учетом наличия -функции), получим

Эта формула справедлива, если выполняется условие применимости теории возмущений: , где а — ширина барьера (см. примечание на стр. 199), и в то же время . Последнее условие обеспечивает неэкспоненциальный характер зависимости ; в противном случае вопрос о применимости формулы (1) требует дальнейшего исследования.

3. Определить коэффициент надбарьерного отражения от квазиклассического барьера в случае, когда функция при имеет излом.

Решение. Если функция имеет какую-либо особенность при вещественном коэффициент отражения определяется в основном полем вблизи этой точки и для его вычисления можно формально применить теорию возмущений, не требуя при этом соблюдения условия ее применимости при всех достаточно выполнения условия квазиклассичности. Мы приходим тогда к формуле (1) задачи 2 с той лишь разницей, что вместо импульса падающей частицы в ней должно стоять значение функции при .

Выбирая в данном случае точку излома в качестве точки х = 0, имеем вблизи

с различными . Интегрирование по производится путем введения в подынтегральное выражение затухающего множителя (после чего полагаем . В результате найдем

где .