§ 135. Формула Резерфорда

Рассеяние в кулоновом поле представляет собой интерес с точки зрения физических применений. Оно интересно также и в том отношении, что для этого случая квантовомеханическая задача о столкновениях может быть решена до конца точно.

При наличии выделенного направления (в данном случае — направление падающей частицы) уравнение Шредингера в кулоновом поле удобно решать в параболических координатах (§ 37). Задача о рассеянии частицы в центральном поле обладает аксиальной симметрией. Поэтому волновая функция не зависит от угла Частное решение уравнения Шредингера (37,6) пишем в виде

(135,1)

((37,7) с ) и, соответственно этому, после разделения переменных получаем уравнения (37,8) с

Энергия рассеиваемой частицы, разумеется, положительна; мы положили Знаки в уравнениях (135,2) соответствуют случаю поля отталкивания; для сечения рассеяния в поле притяжения получается в точности тот же окончательный результат.

Мы должны найти такое решение уравнения Шредингера, которое при отрицательных и больших имеет вид плоской волны:

что соответствует частице, падающей в положительном направлении оси . Мы увидим из дальнейшего, что поставленному условию можно удовлетворить одним частным интегралом (135,1) (а не суммой интегралов с различными значениями ).

В параболических координатах это условие имеет вид

Ему можно удовлетворить, только если

(135,3)

а подчиняется условию

(135,4)

Подставляя (135,3) в первое из уравнений (135,2), убеждаемся втом, что эта функция действительно удовлетворяет уравнению, если Второе из уравнений (135,2) с — приобретает тогда вид

Ищем его решение в виде

(135,5)

где функция стремится к постоянному пределу при для получаем уравнение

(135,6)

которое путем введения новой переменной приводится к уравнению вырожденной гипергеометрической функции с параметрами Мы должны выбрать то из решений уравнения (135,6), которое, будучи умножено на содержит в себе только расходящуюся (т. е. рассеянную), но не сходящуюся, сферическую волну. Таким решением будет функция

Таким образом, собирая полученные выражения, находим следующее точное решение уравнения Шредингера, описывающее рассеяние;

(135,7)

Мы выбрали нормировочную постоянную в таким образом, чтобы падающая плоская волна имела единичную амплитуду (см. ниже).

Для того чтобы выделить в этой функции падающую и рассеянную волны, надо рассмотреть ее вид на больших расстояниях от центра.

Воспользовавшись первыми двумя членами асимптотического разложения (d, 14) вырожденной гипергеометрической функции, получим при больших

Подставив это в (135,7) и переходя к сферическим координатам получаем следующее окончательное асимптотическое выражение волновой функции:

(135,8)

где

Первый член в (135,8) представляет собой падающую волну. Мы видим, что в связи с медленностью спадания кулонова поля падающая плоская волна искажается даже на больших расстояниях от центра, как это показывает наличие логарифмического члена в фазе, а также члена порядка в амплитуде волны Искажающий логарифмический член в фазе имеется также в рассеянной сферической волне, изображающейся вторым членом в (135,8). Эти отличия от обычного асимптотического вида волновой функции (123,3), однако, несущественны, так как дают для плотности потока поправки, стремящиеся к нулю при .

Таким образом, получаем для сечения рассеяния формулу

или, в обычных единицах,

(135,10)

( — скорость частицы). Эта формула совпадает с известной формулой Резерфорда, к которой приводит классическая механика. Таким образом, для рассеяния в кулоновом поле квантовая и классическая механика дают одинаковый результат (N. Mott, W. Gordon, 1928). Естественно, что и формула Борна (126,12) приводит к тому же выражению (135,10).

Приведем для справочных целей выражение амплитуды рассеяния (135,9), написанное в виде суммы по сферическим функциям. Оно получается подстановкой в (124,5) фаз из (36,28) 1):

Таким образом, получим

Знаки в амплитуде (135,9) соответствуют кулонову полю отталкивания. Для поля притяжения выражение (135,9) должно быть заменено комплексно сопряженным. В последнем случае обращается в бесконечность в полюсах функции ), т. е. в точках, где аргумент -функции есть отрицательное целое число или нуль (при этом и функция затухает на бесконечности). Соответствующие значения энергии

и совпадают с дискретными уровнями энергии в кулоновом поле притяжения (ср. § 128).