Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 99. Двузначные представления конечных точечных групп

Состояниям системы с полуцелым спином (а потому и полуцелым полным моментом) соответствуют двузначные представления точечной группы симметрии этой системы. Это является общим свойством спиноров и потому справедливо как для непрерывных, так и для конечных точечных групп. В связи с этим возникает необходимость в отыскании двузначных неприводимых представлений конечных точечных групп.

Как уже отмечалось, двузначные представления по существу вообще не являются истинными представлениями группы. К ним не относятся, в частности, соотношения, о которых шла речь в § 94, и когда в этих соотношениях (например, в соотношении (94,17) для суммы квадратов размерностей неприводимых представлений) шла речь о всех неприводимых представлениях, то в их числе подразумевались только истинные, однозначные представления.

Для отыскания двузначных представлений удобно применять следующий искусственный прием (Н. A. Bethe, 1929). Введем чисто формальным образом понятие о новом элементе группы (обозначим его посредством Q) — повороте на угол вокруг произвольной оси — как об элементе, отличном от единичного, но совпадающем с Е при своем двукратном применении: . В соответствии с этим повороты вокруг осей симметрии порядка будут давать тождественные преобразования лишь после -кратного (а не -кратного) своего применения:

Инверсия I как элемент, коммутативный со всяким поворотом, должна при двукратном применении по-прежнему давать Е.

Но двукратное отражение в плоскости будет равно Q, а не

(это следует из того, что отражение может быть написано в виде ). В результате мы получим совокупность элементов, составляющих некоторую фиктивную точечную группу симметрии, порядок которой вдвое больше порядка исходной группы; об этих группах мы будем говорить как о двойных точечных группах. Двузначные представления действительной точечной группы будут, очевидно, однозначными, т. е. истинными представлениями соответствующей двойной группы, так что для их отыскания можно применить обычные приемы.

Число классов в двойной группе больше, чем в исходной группе (но, вообще говоря, не вдвое). Элемент Q коммутативен со всеми другими элементами группы и потому всегда составляет сам по себе класс. Если ось симметрии двусторонняя, то в двойной группе это означает сопряженность элементов . В связи с этим при наличии осей второго порядка распределение элементов по классам зависит также и от того, являются ли эти оси двусторонними (в обычных точечных группах это несущественно, так как совпадает с обратным поворотом ).

Так, в группе Т оси второго порядка эквивалентны, и каждая из них двусторонняя, а оси третьего порядка эквивалентны, но не являются двусторонними. Поэтому 24 элемента двойной группы Т распределяются по 7 классам: Е, Q, класс из трех поворотов и трех классы

В число всех неприводимых представлений двойной точечной группы входят, во-первых, представления, совпадающие с однозначными представлениями простой группы (причем элементу Q, как и Е, соответствует единичная матрица), и, во-вторых, двузначные представления простой группы, причем элементу Q соответствует отрицательная единичная матрица; нас интересуют сейчас именно эти последние представления.

Двойные группы как и соответствующие им простые группы, являются циклическими группами. Все их неприводимые представления одномерны и могут быть найдены без всякого труда, как это было объяснено в § 95.

Неприводимые представления групп (или изоморфных им Спа) можно найти тем же способом, как и для соответствующих простых групп. Эти представления осуществляются функциями вида где — угол поворота вокруг оси порядка, а для k берутся полуцелые значения (целые значения соответствуют обычным однозначным представлениям). Повороты вокруг горизонтальных осей второго порядка переводят эти функции друг в друга, а поворот умножает на

Несколько труднее нахождение представлений двойных кубических групп. 24 элемента группы Т распределяются по семи классам. Поэтому имеется всего семь неприводимых представлений, из которых четыре совпадают с представлениями простой группы Т. Сумма квадратов размерностей остальных трех представлений должна быть равна 12, откуда находим, что все они двумерны. Поскольку элементы находятся в одном классе, то откуда заключаем, что во всех трех представлениях Далее, из трех представлений по крайней мере одно должно быть вещественным, так как комплексные представления могут встречаться лишь взаимно сопряженными парами. Рассмотрим это представление и предположим, что матрица элемента приведена к диагональному виду (пусть — ее диагональные элементы). Поскольку то Для того чтобы было вещественным, надо взять Отсюда находим, что Таким образом, одно из искомых представлений найдено. Составляя его прямые произведения с двумя комплексно сопряженными одномерными представлениями группы Т, найдем два остальных представления.

Аналогичными рассуждениями, которые мы не станем приводить здесь, можно найти представления группы О. В сводной табл. 8 даны характеры представлений перечисленных двойных групп (приведены лишь представления, соответствующие двузначным представлениям обычных групп). Те же представления имеют изоморфные с ними двойные группы.

Остальные точечные группы либо изоморфны с рассмотренными, либо получаются в результате прямого умножения последних на группу так что их представления не нуждаются в особсм вычислении.

По тем же причинам, что и для обычных представлений, два комплексно сопряженных двузначных представления должны рассматриваться как одно физически неприводимое представление с удвоенной размерностью. Одномерные же двузначные представления надо удваивать даже, если их характеры вещественны. Дело в том (см. § 60), что у систем с полуцелым спином комплексно сопряженные волновые функции линейно независимы.

Таблица 8. Двухзначные представления точечных групп

(см. скан)

Поэтому, если мы имеем двузначное одномерное представление с вещественными характерами (осуществляемое некоторой функцией ), то хотя комплексно сопряженная функция преобразуется по эквивалентному представлению, можно все же утверждать, что линейно независимы. Поскольку, с другой стороны, комплексно сопряженные волновые функции должны принадлежать к одному и тому же уровню энергии, то мы видим, что в физических применениях такое представление должно быть удвоено.

Все сказанное в § 97 о способе нахождения правил отбора для матричных элементов различных физических величин остается в силе и для состояний системы с полуцелым спином, с изменением лишь для диагональных (по энергии) матричных элементов. Повторив изложенные в конце § 97 рассуждения с учетом на этот раз формул (60,2), (60,3), найдем, что если величина четйа Или нечетна по отношению к обращению времени, то для отыскания правил отбора надо рассматривать соответственно антисимметричное или симметричное произведение представления самого на себя — обратно по сравнению со сформули рованным в § 97 правилом, справедливым для систем с целым спином.

Задача

Определить, каким образом расщепятся уровни атома (с данными значениями полного момента J), помещенного 6 поле, обладающее кубической симметрией

Решение. Волновые функции состояний атома с моментом J и различными значениями осуществляют -мерное приводимое представление группы О с характерами, определяемыми формулой (98,3). Разлагая это представление на неприводимые части (однозначные при целом J или двузначные при полуцелом J), мы тем самым определим искомое расщепление (ср. § 96). Перечислим неприводимые части представлений, соответствующих нескольким первым значениям

1
Оглавление
email@scask.ru