Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 140. Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии

До сих пор мы рассматривали лишь столкновения частиц, взаимодействие которых не зависит от их спинов. В этих условиях спины либо вообще не влияют на процесс рассеяния, либо оказывают косвенное влияние, связанное с обменными эффектами (§ 137).

Обратимся теперь к обобщению развитой в § 123 общей теории рассеяния на случай, когда взаимодействие частиц существенно зависит от их спинов, как это имеет место при столкновениях ядерных частиц.

Рассмотрим подробно наиболее простой случай, когда одна из сталкивающихся частиц (для определенности будем считать, что это — частица падающего пучка) имеет спин 1/2, а другая (частица-мишень) — спин 0.

При заданном (полуцелом) полном моменте системы орбитальный момент может иметь лишь два значения ± 1/2, которым соответствуют состояния различной четности. Поэтому из сохранения j и четности в этом случае следует также и сохранение абсолютной величины орбитального момента.

Оператор f (§ 125) действует теперь не только на орбитальные, но и на спиновые переменные волновой функции системы. Он должен быть коммутативен с оператором сохраняющейся величины . Наиболее общий вид такого оператора

(140,1)

где а, b — орбитальные операторы, зависящие только от

S-матрица, а с нею и матрица оператора f диагональны по отношению к волновым функциям состояний с определенными значениями сохраняющихся величин (и проекции m полного момента), причем диагональные элементы выражаются через фазы волновых функций формулой (123,15).

При заданных I и полном моменте собственные значения равны соответственно (см. (118,5)). Поэтому для определения диагональных матричных элементов операторов (обозначим их ) имеем соотношения

где фазы соответствуют состояниям с .

Нас интересуют, однако, не сами по себе диагональные элементы оператора f по отношению к состояниям с заданными I и а амплитуда рассеяния как функция направлений падающей и рассеянной волн. Эта амплитуда будет все еще оператором, но уже только по отношению к спиновым переменным — оператором, недиагональным по проекции спина о. Ниже в этом параграфе мы будем обозначать буквой f именно такой оператор.

Для его нахождения надо воздействовать оператором (140,1) на функцию (125,17), соответствующую падающей (вдоль оси ) плоской волне. Таким образом,

(140,3)

Здесь надо еще вычислить результат воздействия оператора на функцию Это можно сделать, написав

(см. (29,11)) и воспользовавшись формулами (27,12) для матричных элементов операторов еще проще воспользоваться непосредственно операторными выражениями (26,14), (26,15). Простое вычисление дает

где — присоединенный полином Лежандра, a v — единичный вектор в направлении перпендикулярном к плоскости рассеяния — направление падения вдоль оси — направление рассеяния, определяемое сферическими углами .

Определив из (140,2) и подставив в (140,3), получим теперь окончательно

(140,4)

Матричные элементы этого оператора дают амплитуду рассеяния с определенными значениями проекции спина в начальном и конечном состояниях. Рассмотрим сечение, просуммированное по всем возможным значениям а и усредненное по вероятностям различных значений в начальном состоянии (в падающем пучке частиц). Такое сечение вычисляется как

(140,6)

взятием диагональных матричных элементов от произведения достигается суммирование по конечным состояниям, а черта означает усреднение по начальному состоянию. Если в начальном состоянии все направления спина равновероятны, то это усреднение сводится к взятию следа матрицы (деленного на число возможных значений проекции спина )

(140,7)

При подстановке (140,4) в (140,6) среднее значение квадрата вычисляется как . В результате получим

(140,8)

где — начальная поляризация пучка, определенная как отношение среднего спина в начальном состоянии к его наибольшему возможному значению (1/2). Напомним, что в случае спина 1/2 вектор s полностью характеризует спиновое состояние (§ 59).

Обратим внимание на то, что поляризация падающего пучка приводит к азимутальной асимметрии рассеяния: благодаря множителю в последнем члене сечение (140,8) зависит не только от полярного угла , но и от азимута вектора по отношению к (если только поляризация не перпендикулярна к v, так что ).

Поляризация рассеянных частиц может быть вычислена по формуле

(140,9)

Так, если начальное состояние не поляризовано то простое вычисление дает

Таким образом, рассеяние приводит, вообще говоря, к появлению поляризации, перпендикулярной к плоскости рассеяния. Отметим, однако, что этот эффект отсутствует в борновском приближении: если все фазы малы, то в первом приближении по ним коэффициент А — вещественный, а В — чисто мнимый, так что

Тот факт, что поляризация Р (140,10) направлена вдоль v, заранее очевиден: Р есть аксиальный вектор, a v — единственный аксиальный вектор, который может быть составлен из имеющихся в нашем распоряжении полярных векторов Очевидно поэтому, что этим свойством будет обладать также и поляризация, возникающая при рассеянии неполяризованного пучка частиц со спином 1/2 на неполяризованной мишени из ядер с любым (а не только нулевым) спином

В формулировке теоремы взаимности для рассеяния при наличии спинов следует учесть, что обращение времени меняет знаки не только импульсов, но и моментов. Поэтому симметрия рассеяния по отношению к обращению времени должна выражаться в этом случае равенством амплитуд процессов, отличающихся друг от друга не только перестановкой начального и конечного состояний и изменением направлений движения на обратные, но также и изменением знаков проекций спинов частиц в обоих состояниях. При этом, однако, знаки этих амплитуд могут оказаться различными в связи с тем, что обращение по времени вносит, согласно (60,3), в спиновую волновую функцию множитель

Это обстоятельство приводит к тому, что теорема взаимности должна формулироваться следующим образом

(140,11)

Здесь — амплитуда рассеяния с изменением проекций спинов сталкивающихся частиц от значений к значениям сумма в показателе степени берется по обеим частицам до и после рассеяния.

В борновском приближении рассеяние обладает дополнительной симметрией — оказываются одинаковыми вероятности процессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального и конечного состояний, без изменения знаков импульсов и проекций спинов частиц, как при обращении времени (§ 126). Комбинируя это свойство с теоремой взаимности, найдем, что рассеяние симметрично по отношению к изменению знаков всех импульсов и проекций спинов, без их перестановки. Отсюда легко заключить, что в борновском приближении невозможно возникновение поляризации при рассеянии любого неполяризованного пучка на неполяризованной мишени. Действительно, при указанном преобразовании вектор поляризации Р меняет знак, а единственный вектор вдоль которого может быть направлен Р, остается неизменным. Таким образом, свойство, отмеченное выше для рассеяния частиц со спином 1/2 на частицах со спином 0, имеет в действительности общий характер.

В случае произвольных спинов сталкивающихся частиц общие формулы для угловых распределений весьма громоздки, и мы не станем останавливаться здесь на их выводе. Подсчитаем лишь число параметров, которыми должны определяться эти распределения.

Рассмотренный выше случай столкновения частиц со спинами 1/2 и 0 характерен, в частности, тем, что заданным значениям j и четности соответствует всего одно состояние системы двух частиц (отвлекаясь от несущественной ориентации полного момента в пространстве). От каждого такого состояния в амплитуду рассеяния входит один вещественный параметр (фаза 6). В случае же других спинов существует, вообще говоря, по нескольку различных состояний с одинаковыми полным моментом J и четностью; эти состояния различаются значениями полного сгшна частиц S и орбитального момента их относительного движения I.

Пусть число таких состояний будет . Легко видеть, что от каждой такой группы состояний в амплитуду рассеяния входит независимых вещественных параметров.

Действительно, по отношению к этим состояниям -матрица представляет собой унитарную симметричную (в силу теоремы взаимности) матрицу с комплексными элементами. Подсчет числа независимых величин в этой матрице удобно произвести, заметив, что если представить оператор S в виде то условие унитарности выполняется автоматически, когда R — произвольный эрмитов оператор (см. (12,13)). Если матрица s симметрична, то симметрична и матрица R и, будучи эрмитовой, она вещественна. Вещественная же симметричная матрица имеет независимых компонент.

Для примера укажем, что для двух частиц со спинами 1/2 число Действительно, при заданном J имеется всего четыре состояния: два состояния с и полным спином или 1 и два состояния с Очевидно, что два из них четны (I четно) и два — нечетны (нечетные ).

Общий вид амплитуды рассеяния частиц со спином 1/2, как оператора по спиновым переменным обеих частиц, легко написать, исходя из необходимых условий инвариантности: это должен быть скаляр, инвариантный по отношению к обращению времени. Для составления этого выражения в нашем распоряжении имеются два аксиальных вектора спинов частиц s, и и два обычных (полярных) вектора При этом каждый из операторов должен входить в амплитуду линейно, поскольку всякая вообще функция оператора спина 1/2 сводится к линейной. Наиболее общий вид оператора, удовлетворяющего этим условиям, можно представить в виде

(140,12)

Коэффициенты — скалярные величины, которые могут зависеть только от скаляра пп, т. е. от угла рассеяния 0 (и от энергии); — три взаимно перпендикулярных единичных вектора, направленных соответственно вдоль . Операции обращения времени соответствует замена

При этом

и инвариантность оператора (140,12) очевидна.

В случае взаимного рассеяния нуклонов (протонов и нейтронов) последний член (140,12) отсутствует. Это следует уже хотя бы из того, что действующие между нуклонами ядерные силы сохраняют абсолютную величину полного спина системы S; оператор же не коммутирует с оператором (остальные члены в (140,12) выражаются, согласно (117,4), через оператор полного спина S и потому коммутируют с При рассеянии одинаковых нуклонов или коэффициенты как функции угла рассеяния удовлетворяют также определенным соотношениям симметрии, являющимся следствием тождественности обеих частиц (см. задачу 2).

Задачи

1. Для рассеяния частиц со спином 1/2 на частицах со спином 0 определить поляризацию после рассеяния, если до рассеяния она тоже была отлична от нуля.

Решение. Вычисление по формуле (140,9) удобно производить в компонентах, выбрав ось вдоль направления V. В результате получим

2. Найти условия симметрии, которым удовлетворяют как функции угла 0 коэффициенты в амплитуде рассеяния двух одинаковых нуклонов (R. Oehme, 1955).

Решение. Перегруппируем члены в (140,12) таким образом, чтобы каждый из них был отличен от нуля лишь для синглетных () или трип летных состояний системы нуклонов:

С помощью формул (117,4) легко убедиться, что первый член отличен от нуля лишь при S = 0, а остальные — при S = 1. В силу тождественности частиц амплитуда рассеяния должна быть симметрична относительно перестановки координат частиц при S = 0 и антисимметрична при ; это преобразование означает замену или, что то же, изменение знака одного из векторов (ср. § 137). Из этих условий получаем следующие соотношения:

(2)

В силу изотопической инвариантности амплитуда рассеяния одинакова для рассеяний пп и и для рассеяния пр в изотопическом состоянии с Для системы пр возможно, однако, также и состояние с ; в результате амплитуда рассеяния пр характеризуется другими коэффициентами а, в (1), не обладающими свойствами симметрии (2),

1
Оглавление
email@scask.ru