Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 77. Атом водорода в электрическом поле

Уровни атома водорода, в отличие от уровней других атомов, в однородном электрическом поле испытывают расщепление, пропорциональное первой степени поля (линейный эффект Штарка). Это связано с наличием у водородных термов случайного вырождения, в силу которого состояния с различными значениями l (при заданном главном квантовом числе ) обладают одинаковыми энергиями. Матричные элементы дипольного момента для переходов между этими состояниями отнюдь не равны нулю, а потому секулярное уравнение дает уже в первом приближении отличное от нуля смещение уровней.

Для вычисления удобно выбрать невозмущенные волновые функции таким образом, чтобы матрица возмущения была диагональна по отношению к каждой группе взаимно вырожденных состояний. Оказывается, что это осуществляется путем квантования атома водорода в параболических координатах. Волновые функции стационарных состояний атома водорода в параболических координатах определяются формулами (37,15), (37,16).

Оператор возмущения (энергия электрона в поле ) есть (поле направлено в положительном, а действующая на электрон сила — в отрицательном направлении оси ) . Нас интересуют матричные элементы для переходов

при которых энергия (т. е. главное квантовое число ) не меняется. Легко видеть, что из них оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы

(мы произвели подстановку ).

В отношении числа диагональность рассматриваемой матрицы очевидна; что касается чисел то диагональность по отношению к ним следует из взаимной ортогональности функций с различными и одинаковыми (см. ниже). Интегрирования по и по в (77,1) разделяются; получающиеся интегралы вычислены математического дополнения (интеграл (f, 6)). После простого вычисления получим в результате для поправки первого приближения к уровням энергии

или в обычных единицах

Две крайние компоненты расщепившегося уровня соответствуют . Расстояние между этими двумя крайними уровнями есть, согласно (77,2),

т. е. общее расщепление уровня при эффекте Штарка примерно пропорционально . Увеличение расщепления с главным квантовым числом естественно: чем дальше от ядра находятся электроны, тем больше дипольный момент атома.

Наличие линейного эффекта означает, что в невозмущенном состоянии атом обладает дипольным моментом со средним значением

Это находится в согласии с тем, что в состоянии, определяемом параболическими квантовыми числами, распределение зарядов в атоме не симметрично относительно плоскости (см. § 37). Так, при электрон находится преимущественно на стороне положительных z, а потому дипольный момент атома противоположен внешнему полю (заряд электрона отрицателен!).

В предыдущем параграфе было указано, что снятие вырождения однородным электрическим полем не может быть полным — остается во всяком случае двукратное вырождение состояний, отличающихся знаком проекции момента на направление поля (в данном случае — состояний с проекциями момента, равными ). Однако из формулы (77,2) видно, что в линейном штарк-эффекте у водорода даже такое снятие вырождения не достигается, — смещение уровней (при данных ) вообще не зависит от

Дальнейшее снятие вырождения происходит в эффекте второго приближения; вычисление этого эффекта представляет интерес тем более, что в состояниях с линейный эффект Штарка вообще отсутствует.

Для вычисления квадратичного эффекта неудобно пользоваться обычной теорией возмущений, так как при этом пришлось бы иметь дело с бесконечными суммами сложного вида. Вместо этого воспользуемся следующим несколько видоизмененным методом.

Уравнение Шредингера для атома водорода в однородном электрическом поле имеет вид

Как и уравнение с , оно допускает разделение переменных в параболических координатах. Та же подстановка (37,7), что и в § 37, приводит к двум уравнениям

отличающимся от (37,8) наличием членов с . Будем рассматривать в этих уравнениях энергию Е как параметр, имеющий данное определенное значение, а величины Р, — как собственные значения соответствующих операторов (легко убедиться в том, что эти операторы самосопряженные). Эти величины определяются при решении уравнений как функции от Е и после чего условие определит энергию как функцию внешнего поля.

При приближенном решении уравнений (77,4) рассматриваем члены, содержащие поле как малое возмущение. В нулевом приближении уравнения имеют известные уже нам решения

где функции те же, что в (37,16), а вместо энергии введен параметр

Соответствующими значениями величин (согласно равенствам (37,12), в которых надо заменить на будут

Функции с различными значениями при заданном взаимно ортогональны, как собственные функции всякого самосопряженного оператора (мы пользовались уже этим фактом выше при рассмотрении линейного эффекта); в (77,5) они нормированы условиями

Поправки первого приближения для и определяются диагональными матричными элементами возмущения

Вычисление дает

Выражение для отличается заменой на и переменой знака.

Во втором приближении имеем, согласно общим формулам теории возмущений,

Интегралы, входящие в матричные элементы вычислены в § f математического дополнения. Отличны от нуля только элементы

Стоящие в знаменателях разности равны

В результате вычисления получается

(выражение для ) отличается заменой на Собирая полученные выражения и подставляя в соотношение получим уравнение

Решая его последовательными приближениями, получим во втором приближении для энергии выражение

Второй член представляет собой известный уже нам линейный эффект Штарка, а третий — искомый квадратичный эффект (G. Wenizel, I. Waller, P. Epstein, 1926). Отметим, что эта величина всегда отрицательна, т. е. благодаря квадратичному эффекту термы всегда смещаются вниз. Среднее значение дипольного момента получается дифференцированием (77,8) по полю; в состояниях оно равно

Так, поляризуемость атома водорода в нормальном состоянии равна 9/2 (см. также задачу 4 § 76).

Абсолютное значение энергии водородных термов быстро падает с увеличением главного квантового числа , а штарковское расщепление возрастает. В связи с этим представляет интерес рассмотрение штарк-эффекта сильно возбужденных уровней в полях настолько сильных, что произведенное ими расщепление сравнимо по величине с энергией самого уровня и потому теория возмущений неприменима. Это можно сделать, воспользовавшись квазиклассичностью состояний с большими значениями п. Подстановкой

уравнения (77,4) приводятся к виду

Но каждое из этих уравнений имеет вид одномерного уравнения Шредингера, причем роль полной энергии частицы играет , а роль потенциальной энергии — соответственно функции

(77-12)

На рис. 25 и 26 изображен примерный вид этих функций (для . Согласно правилу квантования Бора—Зоммерфельда (48,2) пишем

(77,13)

(целые числа). Эти уравнения определяют в неявном виде зависимость параметров от Е. Вместе с равенством они оределяют, следовательно, энергии смещенных электрическим полем уровней.

Рис. 25

Рис. 26

Интегралы в уравнениях (77,13) могут быть приведены к эллиптическим; решение этих уравнений возможно лишь в численном виде.

Штарк-эффект в сильных полях осложняется еще и другим явлением — ионизацией атома электрическим полем (С. Lanczos, 1931). Потенциальная энергия электрона во внешнем поле принимает при сколь угодно большие отрицательные значения. Накладываясь на потенциальную энергию электрона внутри атома, она приводит к тому, что областью возможного движения электрона (полная энергия Е которого отрицательна) становится, наряду с областью внутри атома, также и область больших расстояний от ядра по направлению к аноду. Эти две области разделены потенциальным барьером, ширина которого уменьшается с увеличением поля.

Но в квантовой механике всегда существует некоторая отличная от нуля вероятность частице пройти через потенциальный барьер. В данном случае выход электрона из области внутри атома через барьер наружу представляет собой не что иное, как ионизацию атома, В слабых полях вероятность такой ионизации исчезающе мала. Она, однако, экспоненциально растет с полем и в достаточно сильных полях становится значительной

Задачи

1. Определить вероятность (в единицу времени) ионизации атома водорода (в основном состоянии) в электрическом поле, удовлетворяющем условию в обычных единицах).

Решение. В параболических координатах потенциальный барьер имеется «вдоль координаты (рис. 26); вытягиванию электрона из атома в направлении к соответствует его переход в область больших Г). Для определения вероятности ионизации надо исследовать вид волновой функции при больших (и небольших мы увидим ниже, что в интеграле, определяющем полный поток вероятности выходящего электрона, играют роль малые ). Волновая функция электрона в нормальном состоянии (в отсутствие поля) есть

При наличии поля зависимость от в интересующей нас области можно считать той же, что в (I), а для определения зависимости от имеем уравнение

где (это—второе из уравнений (77,11), в котором положено Пусть — некоторое значение (расположенное внутри барьера) такое, что При волновая функция квазиклассична. Поскольку, с другой стороны, уравнение (2) имеет вид одномерного уравнения Шредингера, то можно воспользоваться формулами (50,2).

Потребовав, в качестве граничного условия, совпадения с волновой функцией (1) при получим в области вне барьера выражение

где

Нас интересует ниже только квадрат Поэтому мнимая часть экспоненты несущественна. Обозначив посредством корень уравнения имеем

В предэкспоненциальном множителе полагаем при

в экспоненте же надо сохранить также и следующий член разложения функции

причем . Произведя интегрирование и пренебрегая везде, где это возможно, по сравнению с единицей, получим

Полный поток вероятности через плоскость, перпендикулярную к оси , т. е. искомая вероятность ионизации есть

( — цилиндрический радиус в указанной плоскости). При больших и малых можно положить

Подставив также для скорости электрона

получим

откуда окончательно

или, в обычных единицах,

2. Определить вероятность вырывания электрона электрическим полем из потенциальной ямы короткодействующих сил, в которой электрон находится в связанном -состоянии. Электрическое поле предполагается слабым в том смысле, что где — энергия связи электрона в яме, — его масса (Ю. Н. Демксв, Г. Ф. Друкарев, 1964).

Решение. Как и в задаче 1, в случае слабого электрического поля существенны большие расстояния от центра На этих расстояниях волновая функция связанного состояния электрона в яме (без поля ) имеет асимптотический вид

где А — безразмерная постоянная, зависящая от конкретного вида ямы. В параболических координатах имеем и в области волновая функция принимает вид

Ниже в этой задаче массы, длины и времена будут измеряться соответственно в единицах

Функция (6) распадается на произведение функций от . При наличии электрического поля зависимость от можно считать (как и в задаче 1) той же, что и в (6). Для определения же ее зависимости от ) обращаемся к уравнению Шредингера в параболических координатах. При этом (в отличие от случая кулонова поля), ввиду быстрого убывания поля ямы, на существенных для задачи больших расстояниях этим полем можно вообще пренебречь. Разделение переменных в уравнении Шредингера приводит тогда снова к уравнениям (77,11), в которых надо положить а параметры разделения удовлетворяют теперь условию

Параметр надо положить равным 1/2 (так, чтобы зависимость удовлетворяла первому из уравнений (77,11) — приближенно, при малых тогда и для определения зависимости от имеем уравнение

Решая его так же, как решалось уравнение (2), получим теперь вместо (3)

причем

Далее, вместо (4) получается

и, наконец, вместо (5)

или, в обычных единицах,

3. Оценить с экспоненциальной точностью вероятность вырывания электрона из потенциальной ямы под действием однородного переменного электрического поля предполагается, что частота и амплитуда поля удовлетворяют условиям

где — энергия связи электрона в яме (Л. В. Келдыш, 1964).

Решение. При поставленных условиях вероятность вырывания до экспоненциально мала. Для вычисления одного лишь показателя экспоненты (без предэкспоненциального множителя) достаточно рассматривать движение как одномерное — в направлении поля, ось .

Здесь будет удобным описывать электрическое поле не скалярным, а векторным потенциалом: Тогда гамильтониан электрона в области вне ямы примет вид

(см. ниже (111,3)) и не содержит координаты г. Введя безразмерные переменные И безразмерные параметры

напишем уравнение Шредингера в виде

Граничное условие к этому уравнению состоит в требовании, чтобы при его решение совпадало с невозмущенной полем волновой функцией электрона (с энергией ) в яме:

Ввиду квазиклассичности задачи ищем решение (с экспоненциальной точностью) в виде где — классическое действие. Так как гамильтониан не зависит от координаты , обобщенный импульс сохраняется вдоль классической траектории, так что 1

где — постоянные.

При этом, по смыслу действия как функции коордиват (см. I, § 43), надо под понимать вначение, приводящее траекторию в заданную точку в момент , т. е. считать функцией от , определяемой уравнением движения , т. е.

(постоянная выбрана так, что при ). Формулы (8), (9) дают действие, зависящее от двух постоянных: и А. Чтобы получить решение, удовлетворяющее условию (1), надо (как при нахождении общего интеграла уравнения Гамильтона—Якоби — см. I, § 47, примечание на стр. 191) считать А функцией от - функцией координаты и времени, определяемой условием

Очевидно, что надо положить тогда при вместе с будет и в согласии с условием (7). Равенство (10) теперь переписывается как

Уравнения (9) и (11) совместно определяют функции и , а тем самым (после подстановки в ) и волновую функцию .

Искомая вероятность w пропорциональна плотности потока вдоль оси . В классически доступной области эта плотность есть . Начало этой области определяется точкой, где перестает возрастать . В этой точке , а поскольку , то из (9), (11) следует тогда, что здесь же и Из этого условия определяется значение положив в (11) , получим

откуда

(мнимость момента времени» выражает собой классическую неосуществимость процесса). Окончательно

причем в качестве можно взять любое вещественное значение (мнимая часть интеграла от него не зависит). Вычислив интеграл, получим

Предельные выражения функции :

Предельнее выражение w при отвечает вероятности вырывания частицы из потенциальной ямы постоянным полем.

Формуле (12) применима, если показатель экспоненты велик. Для этого во всяком случае должно быть .

1
Оглавление
email@scask.ru