§ 59. Частичная поляризация частиц

Надлежащим выбором направления оси всегда можно обратить в нуль одну из компонент (например, ) заданного спинора — волновой функции частицы со спином 1/2. Это очевидно уже из того, что направление в пространстве определяется двумя величинами (углами), т. е. число имеющихся в нашем распоряжении параметров как раз равно числу величин (вещественная и мнимая части комплексного, которые мы хотим обратить в нуль.

Физически это значит, что если частица со спином 1/2 (будем говорить для определенности об электроне) находится в состоянии, описываемом некоторой спиновой волновой функцией, то существует такое направление в пространстве, вдоль которого проекция спина частицы имеет определенное значение Можно сказать, что в таком состоянии электрон полностью поляризован.

Существуют, однако, и такие состояния электрона, которые можно назвать частично поляризованными. Эти состояния описываются не волновыми функциями, а лишь матрицами плотности, т. е. они являются смешанными (по спину) состояниями (см. § 14).

Спиновая (или поляризационная) матрица плотности электрона представляет собой спинор второго ранга нормированный условием

и удовлетворяющий условию «эрмитовости»

В случае чистого (т. е. вполне поляризованного) спинового состояния электрона спинор сводится к произведению компонент волновой функции

Диагональные компоненты матрицы плотности определяют вероятности значений проекции спина электрона на ось z. Поэтому среднее значение этой проекции

или, учитывая (59,1).

В чистом состоянии среднее значение величин вычисляется как

Так как согласно (55,6) и (55,7), операторы выражаются матрицами

то находим

Соответственно в смешанном состоянии будет

С помощью матриц Паули формулы (59,4) и (59,5) могут быть записаны совместно в виде

Таким образом, все компоненты поляризационной матрицы плотности электрона выражаются через средние значения компонент его вектора спина. Другими словами, вещественный вектор s полностью определяет свойства поляризации частицы со спином 1/2. В предельном случае полной поляризации одна из компонент этого вектора (при соответствующем выборе направления осей) равна 1/2, а две другие — нулю. В обратном случае неполяризованного состояния все три компоненты равны нулю. В общем же случае произвольной частичной поляризации и произвольном выборе системы координат имеет место неравенство , где

есть величина, которую можно назвать степенью поляризации электрона.

Для частицы с произвольным спином s матрица плотности есть спинор ранга симметричный по первым и по последним индексам и удовлетворяющий условиям

Для подсчета числа независимых компонент матрицы плотности замечаем, что среди возможных наборов значений индексов (или индексов ) имеется лишь существенно различных.

Учитывая также, что компоненты спинора связаны одним соотношением (59,7), найдем, что число различных компонент равно Хотя эти компоненты являются комплексными величинами, но в силу соотношений (59,8) это обстоятельство не увеличивает общего числа независимых величин, характеризующих состояние частичной поляризации частицы и равного, таким образом, Для сравнения укажем, что состояние полной поляризации частицы описывается всего 4s величинами комплексных компонент волновой функции связанных одним условием нормировки и содержащих одну несущественную для описания состояния общую фазу).

Как и всякий спинор ранга спинор эквивалентен совокупности неприводимых тензоров рангов . В данном случае имеется всего по одному тензору каждого из этих рангов, поскольку в силу свойств симметрии спинора каждое его упрощение может происходить лишь одним способом — по одному (любому) из индексов и одному из Кроме того, скаляр (тензор ранга 0) вообще отсутствует, сводясь в силу условия (59,7) к единице.