§ 95. Неприводимые представления точечных групп

Перейдем теперь к конкретному определению неприводимых представлений точечных групп. Огромное большинство молекул обладает лишь осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Поэтому мы не будем рассматривать группы икосаэдра группы будем рассматривать лишь со значениями , а группы .

Характеры представлений этих групп даны в табл. 7. Изоморфные группы имеют одинаковые представления и приводятся вместе в одной таблице. Числа перед символами элементов группы в первых строках указывают числа элементов в соответствующих классах (см. § 93). В первых столбцах указаны принятые условные обозначения представлений. Одномерные представления обозначаются буквами , двумерные — буквой Е, а трехмерные — F (обозначение Е для двумерного неприводимого представления не смешивать с обозначением Е для единичного элемента группы!) Функции базисов представлений А симметричны, а функции В — антисимметричны по отношению к поворотам вокруг главной оси порядка. Функции различной симметрии по отношению к отражению отличаются количеством штрихов (один или два), а индексы g и и указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с обозначениями представлений указано буквами х, у, z, по какому представлению преобразуются сами координаты; ось z везде выбрана вдоль главной оси симметрии. Буквы обозначают

Таблица 7. Характеры неприводимых представлений гпчечиых групп (см. скан)

Таблица 7 (продолжение)

Наиболее просто определение неприводимых представлений для циклических групп (группы ), Циклическая группа, как и всякая абелева группа, имеет лишь одномерные представления. Пусть G — производящий элемент группы (т. е. элемент, возведение которого в последовательные степени дает все элементы группы). Поскольку (g — порядок группы), то ясно, что при воздействии оператора G на функцию базиса последняя может умножиться только на у 1, т. е.

Группа (и изоморфные с ней ) абелева, так что все ее неприводимые представления тоже одномерны, причем характеры могут быть равны только ±1 (так как квадрат каждого элемента есть Е).

Далее, рассмотрим группу По сравнению с группой здесь прибавляются отражения в вертикальных плоскостях (относящиеся все к одному классу). Функция, инвариантная по отношению к повороту вокруг оси (функция базиса представления А группы С), может быть симметричной или антисимметричной по отношению к отражениям

Функции же, умножающиеся при повороте на и (функции базисов комплексно сопряженных представлений Е), при отражении переходят друг в друга. Из этих рассуждений следует, что группа (и изоморфная с ней ) имеет два одномерных и одно двумерное неприводимое представление с характерами, указанными в таблице. В том, что мы действительно нашли все неприводимые представления, можно убедиться, из того, что сумма , т. е. равна порядку группы.

Аналогичными рассуждениями находятся характеры представлений других групп такого типа

Группа Т получается из группы добавлением поворотов вокруг четырех наклонных осей третьего порядка. Функция, инвариантная по отношению к преобразованиям группы V (базис представления А), может умножаться при повороте на 1, в или Функции же базиса трех одномерных представлений группы V при поворотах вокруг осей третьего порядка переходят друг в друга (что видно, если взять, например, в качестве этих функций сами координаты . Таким образом, получаем три одномерных и одно трехмерное неприводимое представление

Наконец, рассмотрим изоморфные группы О и Группа получается из группы Т добавлением отражений в плоскостях, каждая из которых проходит через две оси третьего порядка. Функция базиса единичного представления А группы Т может быть симметричной или антисимметричной по отношению к этим отражениям (относящимся все к одному классу), что дает два одномерных представления группы Функции, умножающиеся на или при повороте вокруг оси третьего порядка (базис комплексно сопряженных представлений Е группы Т), при отражении в плоскости, проходящей через эту ось, переходят друг в друга, так что получается одно двумерное представление. Наконец, из трех функций базиса представления F группы Т одна преобразуется при отражении сама через себя (причем может остаться неизменной или изменить знак), д две другие — переходят друг в друга. Таким образом, получаем всего два одномерных, одно двумерное и два трехмерных представления.

Что касается остальных интересующих нас точечных групп, то их представления можно получить непосредственно из уже выписанных, если заметить, что эти группы являются прямыми произведениями рассмотренных уже групп на группу

Именно,

Каждое из этих прямых произведений имеет вдвое больше неприводимых представлений, чем исходная группа, причем половина из них симметрична (обозначаются индексом g), а другая половина антисимметрична (индекс и) по отношению к инверсии. Характеры этих представлений получаются из характеров представлений исходной группы умножением на ±1 (в соответствии с правилом (94,24)). Так, для группы получим представления: