§ 121. Сверхтонкая структура атомных уровней

Другим атомным эффектом, связанным со специфическими свойствами ядра, является расщепление атомных уровней энергии в результате взаимодействия электронов со спином ядра — называемая сверхтонкая структура уровней. Ввиду слабости указанного взаимодействия интервалы этой структуры очень малы, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры. Поэтому сверхтонкая структура должна рассматриваться для каждой из компонент тонкой структуры в отдельности.

Спин ядра будем обозначать в этом параграфе (в соответствии с тем, как это принято в атомной спектроскопии) посредством i, сохранив обозначение J для полного момента электронной оболочки атома. Полный момент атома (вместе с ядром) обозначим как . Каждая компонента сверхтонкой структуры характеризуется определенным значением величины этого момента.

По общим правилам сложения моментов квантовое число F принимает значения

(121,1)

так что каждый уровень с заданным J расщепляется на (если ) или (если ) компонент.

Поскольку средние расстояния электронов в атоме велики по сравнению с радиусом R ядра, основную роль в сверхтонком расщеплении играет взаимодействие электронов с мультипольными моментами ядра наиболее низких порядков. Таковыми являются магнитный дипольный и электрический квадрупольный моменты (средний дипольный момент равен нулю — см. § 75).

Магнитный момент ядра имеет порядок величины где — скорости нуклонов в ядре. Энергия его взаимодействия с магнитным моментом электрона порядка

Квадрупольный момент ядра энергия взаимодействия создаваемого им поля с зарядом электрона порядка

Сравнивая (121,2) и (121,3), мы видим, что магнитное взаимодействие (а потому и вызываемое им расщепление уровней) раз больше квадрупольного взаимодействия; хотя отношение сравнительно мало, зато отношение велико.

Оператор магнитного взаимодействия электронов с ядром имеет вид

(121,4)

(аналогично спин-орбитальному взаимодействию электронов ). Зависимость вызываемого им расщепления уровней от F дается, следовательно, выражением

(121,5)

Оператор же квадрупольного взаимодействия электронов с ядром составляется из оператора тензора квадрупольного момента ядра и компонент вектора J момента электронов. Он пропорционален составленному из этих операторов скаляру

т. е. имеет вид

(121,6)

здесь учтено, что выражается через оператор спина ядра формулой вида (75,2). Вычислив собственные значения оператора (121,6) (это делается в точности аналогично вычислениям в задаче 1 § 84), мы найдем, что зависимость квадрупольного сверхтонкого расщепления уровней от квантового числа F дается выражением

(121,7)

Эффект магнитного сверхтонкого расщепления в особенности заметен для уровней, связанных с внешним электроном, находящимся в -состоянии, ввиду сравнительно большой вероятности нахождения такого электрона вблизи ядра.

Вычислим сверхтонкое расщепление для атома, содержащего один внешний -электрон (Е. Fermi, 1930). Этот электрон описывается сферически-симметричной волновой функцией его движения в самосогласованном поле остальных электронов и ядра.

Будем искать оператор взаимодействия электрона с ядром как оператор энергии — магнитного момента ядра в магнитном поле, создаваемом (в начале координат) электроном. Согласно известной формуле электродинамики это поле

где j — оператор плотности тока, создаваемого движущимся электронным спином, а — радиус-вектор из центра к элементу Согласно (115,4) имеем

( — магнетон Бора). Написав и произведя интегрирование, находим

Окончательно для оператора взаимодействия имеем

(121,9)

Если полный момент атома , то сверхтонкое расщепление приводит к возникновению дублета ; согласно (121,5) и (121,9) найдем для расстояния между двумя уровнями дублета

(121,10)

Поскольку значение пропорционально (см. § 71), величина этого расщепления растет пропорционально атомному номеру.

Задачи

1. Вычислить сверхтонкое расщепление (связанное с магнитным взаимодействием) для атома, содержащего сверх замкнутых оболочек один электрон с орбитальным моментом I (Е. Fermi, 1930).

Решение. Векторный потенциал и напряженность магнитного поля, создаваемого магнитным моментом ядра равны

С помощью этих выражений пишем оператор взаимодействия в виде

После усреднения по состоянию с заданным значением выражение в квадратных скобках будет направлено вдоль j. Поэтому можно написать

Среднее значение было вычислено в задаче к § 29. Воспользовавшись им и переходя к собственным значениям, получим

откуда после простого вычисления окончательно находим

где . Усреднение производится по радиальной части волновой функции электрона.

2. Определить зеемановское расщепление компонент сверхтонкой структуры атомного уровня (S. A. Goudsmit, R. F. Bacher, 1930).

Решение. В формуле (113,4) (мы предполагаем поле настолько слабым, что вызываемое им расщепление мало по сравнению с интервалами сверхтонкой структуры) усреднение должно теперь производиться не только по электронному состоянию, но и по направлениям ядерного спина.

В результате первого усреднения получается с прежним (113,7). Второе усреднение дает, аналогично (113,5),

Таким образом, окончательно получаем