§ 125. Условие унитарности для рассеяния

Амплитуда рассеяния в произвольном (не обязательно центральном) поле удовлетворяет определенным соотношениям, являющимся следствием некоторых общих физических требований-Асимптотический вид волновой функции на больших расстояниях при упругом рассеянии в произвольном поле

(125,1)

Эта форма записи отличается от (123,3) в том отношении, что амплитуда рассеяния зависит здесь от направлений двух единичных векторов — вдоль направления падения частиц и вдоль направления рассеяния , а не только от угла между ними.

Любая линейная комбинация функций вида (125,1) с различными направлениями падения тоже представляет некоторый возможный процесс рассеяния. Умножив функции (125,1) на произвольные коэффициенты и проинтегрировав по всем направлениям (элемент телесного угла ), напишем такую линейную комбинацию в виде интеграла

(125,2)

Поскольку расстояние сколь угодно велико, множитель в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора п. Значение интеграла определяется поэтому в основном областями вблизи тех значений , при которых показатель экспоненты имеет экстремум ). В каждой из областей множитель можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование дает

Перепишем это выражение в компактном операторном виде, опустив общий множитель

(125,3)

где

(125,4)

a f — интегральный оператор

(125,5)

Оператор S называют оператором (или матрицей) рассеяния, или просто S-матрицей; он был впервые введен В. Гейзенбергом (1943).

Первый член в (125,3) представляет собой сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящейся и расходящейся волнах. Другими словами, эти две волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния должен быть унитарным (§ 12), т. е. должно быть

(125,6)

или, подставив (125,4) и произведя перемножение:

(125,7)

Наконец, учитывая определение (125,5), перепишем окончательно условие унитарности для рассеяния в виде

(125,8)

При интеграл в правой части равенства есть не что иное, как полное сечение рассеяния

Разность же в левой стороне равенства сводится в этом случае к мнимой части амплитуды . Таким образом, получаем следующее общее соотношение между полным сечением упругого рассеяния и мнимой частью амплитуды рассеяния на нулевой угол:

(125,9)

(так называемая оптическая теорема для рассеяния).

Еще одно общее свойство амплитуды рассеяния может быть получено, исходя из требования симметрии по отношению к обращению времени. В квантовой механике эта симметрия выражается в том, что если функция описывает какое-либо возможное состояние, то и комплексно сопряженная функция отвечает некоторому возможному состоянию (§ 18). Поэтому волновая «функция

комплексно сопряженная функции (125,3), тоже описывает некоторый возможный процесс рассеяния.

Введем новую произвольную функцию, обозначив . Учитывая унитарность оператора S, имеем тогда

введя оператор Р инверсии координат, меняющий знак векторов , напишем

Таким образом, получаем обращенную по времени волновую функцию в виде

Она должна по существу совпадать с исходной волновой функцией (125,3). Сравнение показывает, что для этого должно выполняться условие

(125,10)

тогда обе функции отличаются лишь обозначением произвольной функции.

Соответствующее соотношение для амплитуды рассеяния получим, переходя от операторного равенства (125,10) к матричному. Транспонирование меняет местами начальный и конечный векторы , а инверсия меняет их знаки. Поэтому имеем

(125,11)

или, что то же:

(125,12)

Это соотношение (так называемая теорема взаимности) выражает собой естественный результат: совпадение амплитуд двух процессов рассеяния, являющихся обращенными по времени друг по отношению к другу. Обращение времени переставляет начальное и конечное состояния и меняет направления движения частиц в них на обратные.

Для рассеяния в центральном поле полученные общие соотношения упрощаются. В этом случае амплитуда зависит только от угла между . Поэтому равенство (125,12) превращается в тождество. Условие же унитарности (125,8) принимает вид

(125,13)

где — углы между и некоторым направлением в пространстве.

Если представить в виде разложения (123,14), то с помощью теоремы сложения для сферических функций из (125,13) получим следующее соотношение для парциальных амплитуд:

(125,14)

Эта формула может быть получена и непосредственно из выражения (123,15), согласно которому Оптическую теорему (125,9) в случае рассеяния в центральном поле тоже легко получить непосредственно из формул

Переписав (125,14) в виде мы видим, что амплитуда должна иметь вид

где — вещественная величина; она связана с фазой соотношением

(125,16)

В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться таким представлением амплитуды.

Проследим — для рассеяния в центральном поле — за связью между введенным выше понятием оператора рассеяния и величинами, фигурирующими в изложенной в § 123 теории.

Поскольку орбитальный момент в центральном поле сохраняется, оператор рассеяния коммутативен с оператором момента. Другими словами, -матрица диагональна в -представлении. При этом в силу унитарности оператора S его собственные значения должны быть по модулю равны единице, т. е. имеют вид с вещественными величинами . Легко видеть, что эти величины совпадают с фазовыми сдвигами волновых функций, так что собственные значения -матрицы совпадают с введенными в § 123 величинами собственные же значения оператора соответственно совпадают с парциальными амплитудами (123,15). Действительно, если в качестве функции выбрать (при этом ) ), то волновая функция (125,3) должна совпасть с решением уравнения Шредингера, изображаемым отдельным членом суммы в (123,9); это и значит, что

Для плоской волны, падающей вдоль оси , функция в (125,3) есть -функция , где — угол между и осью , -функция определена здесь, как указано в примечании на стр. 592, а коэффициент перед ней выбран так, чтобы при подстановке в правую сторону определения (125,5) получалось просто (где теперь — угол между и осью z).

Представив -функцию в виде (124,3)

(125,17)

и применив к ней оператор f, мы получим, как и следовало, амплитуду рассеяния в виде (123,14).

Наконец, сделаем еще следующее замечание. С математической точки зрения, условие унитарности (125,8) показывает, что не всякая наперед заданная функция могла бы быть амплитудой рассеяния в каком-либо поле. В частности, не всякая функция могла бы быть амплитудой рассеяния в каком-либо Центральном поле. В силу (125,13) должно выполняться определенное соотношение между ее вещественной и мнимой частями. Если написать f то при заданном для всех углов модуле соотношение (125,13) даст интегральное уравнение, из которого в принципе можно определить неизвестную фазу . Другими словами, по известному для всех углов сечению рассеяния (квадрату ) можно в принципе восстановить и амплитуду. Это восстановление, однако, не вполне однозначно и определяет амплитуду лишь с точностью до замены

(125,18)

оставляющей инвариантным уравнение (125,13) и, конечно, не меняющей сечения (преобразование (125,18) эквивалентно одновременному изменению знака всех фаз в (123,11)). Эта неоднозначность, однако, устраняется, если амплитуда рассеяния рассматривается не только в зависимости от угла, но и от энергии. Мы увидим ниже (§ 128, 129), что аналитические свойства амплитуды как функции энергии не инвариантны относительно преобразования (125,18).