§ 27. Собственные значения момента

Для определения собственных значений проекции момента импульса частицы на некоторое направление удобно воспользоваться выражением для ее оператора в сферических координатах, выбрав полярную ось вдоль рассматриваемого направления. Согласно формуле (26,14) уравнение запишем в виде

Его решение есть

где произвольная функция от и . Для того чтобы функция была однозначной, необходимо, чтобы она была периодична по с периодом Отсюда находим

Таким образом, собственные значения равны положительным и отрицательным целым числам, включая значение нуль. Зависящий от множитель, характерный для собственных функций оператора , обозначим посредством

Эти функции нормированы так, что

Собственные значения z-компоненты полного момента системы, очевидно, тоже равны положительным и отрицательным целым числам:

(это следует из того, что оператор есть сумма коммутативных друг с другом операторов для отдельных частиц).

Поскольку направление оси заранее ничем не выделено, то ясно, что тот же результат получится для , и вообще для составляющей момента по любому направлению, — все они могут принимать лишь целые значения. Этот результат может показаться, на первый взгляд, парадоксальным, особенно, если применить его к двум бесконечно близким направлениям. В действительности, однако, надо иметь в виду, что единственная общая собственная функция операторов соответствует одновременным значениям

в этом случае вектор момента импульса, а поэтому и его проекция на любое направление равны нулю. Если же хотя бы одно из собственных значений отлично от нуля, то общих собственных функций у соответствующих операторов нет. Другими словами, не существует такого состояния, в котором две или три составляющие момента по различным направлениям имели бы одновременно определенные (отличные от нуля) значения, так что мы можем говорить лишь о целочисленности одной из них.

Стационарные состояния системы, отличающиеся только значением М, обладают одинаковой энергией — это следует уже из общих соображений, связанных с тем, что направление оси z заранее ничем не выделено.

Таким образом, энергетические уровни системы с сохраняющимся (отличным от нуля) моментом во всяком случае вырождены.

Перейдем теперь к отысканию собственных значений квадрата момента и покажем, каким образом можно найти эти значения, исходя из одних только правил коммутации (26,8). Обозначим посредством волновые функции стационарных состояний с одинаковым значением квадрата относящихся к одному вырожденному уровню энергии и отличающихся значением М.

Прежде всего замечаем, что поскольку оба направления оси физически эквивалентны, то для каждого возможного положительного значения существует такое же отрицательное Обозначим посредством L (целое положительное число или нуль) наибольшее возможное (при заданном ) значение . Самый факт существования такого верхнего предела следует из того, что разность есть оператор существенно положительной физической величины и потому его собственные значения не могут быть отрицательными.

Применив оператор к собственной функции опера тора и воспользовавшись правилами коммутации (26,12), получим

Отсюда видно, что функция есть (с точностью до нормировочной постоянной) собственная функция, соответствующая значению М ± 1 величины Lz

(27,7)

Если в первом из этих равенств положить , то должно быть тождественно

поскольку состояний с М > L, по определению, нет. Применяя к этому равенству оператор и воспользовавшись равенством (26,13), получим

Но поскольку — общие собственные функции операторов , то

так что полученное уравнение дает

Формулой (27,9) определяются искомые собственные значения квадрата момента; число L пробегает все целые положительные значения, включая значение нуль. При заданном значении числа L компонента момента может иметь значения

(27,10)

т. е. всего различных значений. Уровень энергии, соответствующий моменту L, таким образом, -кратно вырожден; об этом вырождении обычно говорят как о вырождении по направлениям момента. Состояние с равным нулю моментом, (при этом все его три компоненты равны нулю), не вырождено. Отметим, что волновая функция такого состояния сферически-симметрична; это ясно уже из того, что ее изменение при любом бесконечно малом повороте, даваемое выражением обращается в данном случае в нуль.

Мы будем часто говорить для краткости, как это принято, о «моменте L» системы, подразумевая при этом момент с квадратом, равным ); о z-компоненте же момента говорят обычно просто как о «проекции момента».

Момент одной частицы будем обозначать малой буквой , т. е. будем писать для нее формулу (27,9) в виде

(27,11)

Вычислим матричные элементы величин в представлении, в котором, наряду с энергией, диагональны (М. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, 1926).

Прежде всего замечаем, что поскольку операторы коммутативны с гамильтонианом, то их матрицы диагональны по отношению к энергии, т. е. все матричные элементы для переходов между состояниями с различной энергией (и различными моментами L) равны нулю. Таким образом, достаточно рассмотреть матричные элементы для переходов внутри группы состояний с различными значениями М, соответствующих одному вырожденному уровню энергии.

Из формул (27,7) видно, что в матрице оператора отличны от нуля только элементы, соответствующие переходам , а в матрице оператора — элементы с . Учитывая это, находим диагональные матричные элементы в обеих сторонах равенства (26,13) и получаем

Замечая, что в силу эрмитовости операторов

переписываем это равенство в виде

откуда

(27.12)

Для отличных от нуля матричных элементов самих отсюда имеем

(27.13)

Обратим внимание на отсутствие диагональных элементов в матрицах величин Поскольку диагональный матричный элемент дает среднее значение величины в соответствующем состоянии, то это значит, что в состояниях с определенными значениями средние значения Таким образом, если имеет определенное значение проекция момента на какое-либо направление в пространстве, то в этом же направлении лежит и весь вектор