§ 126. Формула Борна

Сечение рассеяния может быть вычислено в общем виде в очень важном случае, когда рассеивающее поле может рассматриваться как возмущение. В § 45 было показано, что это возможно при выполнении хотя бы одного из двух условий:

(126,1)

или

(126,2)

где а — радиус действия поля , a U — порядок его величины в основной области его существования. При выполнении первого условия рассматриваемое приближение применимо при всех скоростях. Из второго же условия видно, что оно во всяком случае применимо для достаточно быстрых частиц.

В соответствии с § 45 ищем волновую функцию в виде где соответствует падающей частице с волновым вектором Из формулы (45,3) имеем

(126,3)

Выбрав рассеивающий центр в качестве начала координат, введем радиус-вектор в точку наблюдения и обозначим посредством единичный вектор в направлении Пусть радиус-вектор элемента объема есть , тогда На больших расстояниях от центра , так что

Подставив это в (126,3), получим следующее асимптотическое выражение для

(где — волновой вектор частицы после рассеяния). Сравнивая с определением амплитуды рассеяния в (123,3), получим для нее выражение

в котором мы произвели переобозначение переменных интегри рования и ввели вектор

(126,5)

с абсолютной величиной

где — угол между , т. е. угол рассеяния.

Наконец, возведя в квадрат модуль амплитуды рассеяния, получим следующую формулу для сечения рассеяния в элемент телесного угла

Мы видим, что рассеяние с изменением импульса на определяется квадратом модуля соответствующей компоненты Фурье поля U. Формула (126,7) была впервые получена Борном (М. Born, 1926); такое приближение в теории столкновений часто называют борновским приближением.

Отметим, что в этом приближении имеет место соотношение

(126,8)

между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова) процессов рассеяния, т. е. процессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального и конечного импульсов, без изменения их знаков, как при обращении времени. Таким образом, в рассеянии появляется дополнительное (помимо теоремы, взаимности (125,12)) свойство симметрии. Это свойство тесно связано с малостью амплитуд рассеяния в теории возмущений и непосредственно следует из условия унитарности (125,8). если пренебречь в нем интегральным членом, квадратичным по .

Формула (126,7) может быть получена также и другим способом (который, однако, оставляет неопределенной фазу амплитуды рассеяния). Именно, мы можем исходить из общей формулы (43,1), согласно которой вероятность перехода между состояниями непрерывного спектра дается формулой

В данном случае мы должны применить эту формулу к переходу из состояния падающей свободной частицы с импульсом в состояние частицы с импульсом , рассеянной в элемент телесного угла . В качестве интервала состояний выбираем . Подставив для разности конечной и начальной энергий имеем

(126,9)

Волновые функции падающей и рассеянной частиц — плоские волны. Поскольку в качестве интервала состояний выбран элемент пространства , то конечная волновая функция, должна быть нормирована на -функцию от :

(126,10)

Начальную же волновую функцию нормируем на единичную плотность потока

(126,11)

Тогда выражение (126,9) будет иметь размерность площади и представляет собой дифференциальное сечение рассеяния.

Наличие -функции в формуле (126,9) означает, что , т. е. абсолютная величина импульса не меняется, как и должно быть, при упругом рассеянии. Можно исключить -функцию, перейдя к сферическим координатам в импульсном пространстве, т. е. заменив на и проинтегрировав по . Интегрирование сводится к замене абсолютного значения на в подынтегральном выражении, и мы получим

Подставив сюда функции (126,10), (126,11), мы снова вернемся к формуле (126,7).

В виде (126,7) эта формула применима к рассеянию в поле , являющемся функцией от координат в любой их комбинации, а не только от . Но в случае центрального поля она может быть подвергнута дальнейшему преобразованию.

В интеграле

воспользуемся сферическими пространственными координатами с полярной осью, выбранной в направлении вектора q (полярный угол обозначаем посредством Ф в отличие от угла рассеяния ). Интегрирование по 0 и может быть произведено, и в результате получим

Подставив это выражение в (126,4), получим следующую формулу для амплитуды рассеяния в центрально-симметричном поле

(126,12)

При стоящий здесь интеграл расходится, если убывает на бесконечности, как или медленнее (в согласии с общими результатами § 124).

Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство. Импульс частицы и угол рассеяния входят в (126,12) только через q. Таким образом, в борновском приближении сечение рассеяния зависит от и только в комбинации

Возвращаясь к общему случаю произвольных полей , рассмотрим предельные случаи малых и больших скоростей.

При малых скоростях можно в интеграле (126,4) положить так что амплитуда рассеяния

(126,13)

а если , то

(126,14)

Рассеяние оказывается здесь изотропным по направлениям и не зависящим от скорости, что находится в согласии с общими результатами § 132.

В обратном предельном случае больших скоростей рассеяние резко анизотропно и направлено вперед, в узком конусе с углом раствора Действительно, вне этого конуса величина q велика, множитель есть быстро осциллирующая функция и интеграл от его произведения на медленно меняющуюся функцию U близок к нулю.

Закон убывания сечения при больших значениях q не является, универсальным и зависит от конкретного вида поля. Если поле имеет какую-либо особенность при или при каком-либо другом вещественном значении , то определяющую роль в интеграле в (126,12) играет область вблизи этой точки и убывание сечения происходит по степенному закону. То же самое относится и к случаю, когда функция не имеет особенности, но не является четной — основную роль в интеграле играет при этом область вблизи Если же есть четная функция , то интегрирование можно формально распространить и на отрицательные значения , т. е. производить его вдоль всей вещественной оси переменной , после чего (если не имеет особых точек на вещественной оси) можно сместить путь интегрирования в комплексную область до его «зацепления» за ближайшую комплексную особую точку. В результате при больших q интеграл оказывается убывающим по экспоненциальному закону. Следует, однако, иметь в виду, что для вычисления этой экспоненциально малой величины борновское приближение, вообще говоря, непригодно (см. также § 131).

Хотя величина дифференциального сечения рассеяния внутри конуса от скорости в основном не зависит, но, благодаря уменьшению угла раствора конуса, полное сечение рассеяния (если интеграл вообще сходится) при больших энергиях убывает. Именно, полное сечение убывает вместе с величиной телесного угла, вырезываемого конусом, пропорционально т. е. обратно пропорционально энергии.

Во многих физических применениях теории столкновений в качестве величины, характеризующей рассеяние, фигурирует интеграл

(126,15)

называемый часто транспортным сечением. Соображения, аналогичные указанным выше, показывают, что при больших скоростях эта величина обратно пропорциональна квадрату энергии.

Задачи

1. Определить в борцовском приближении сечение рассеяния сферической потенциальной ямой: при при .

Решение. Вычисление интеграла в (126,12) приводит к результату;

Интегрирование по всем углам (которое удобно произвести, переходя к переменной и заменив на дает полное сечение рассеяния

В предельных случаях эта формула дает

Решение. Вычисление удобно производить по формуле (126,7), выбрав направление q в качестве направления одной из осей координат, В результате получим

и полное сечение

Условия применимости этих формул даются неравенствами (126,1), (126,2) с в качестве U. Кроме того, формула для неприменима, если показатель экспоненты велик по своей абсолютной величине.

То же в поле

Решение. Вычисление интеграла в (126,12) дает

Полное сечение

Условие применимости этих формул получается из (126,1)-(126,2) с в качестве или .

4. Определить фазы для рассеяния в центрально-симметричном поле в случае, соответствующем борновскому приближению.

Решение. Для радиальной волновой функции движения в поле и для функции свободного движения имеем уравнения (см, (32,10))

Умножив первое уравнение на второе на вычтя почленно одно из другого и проинтегрировав затем по (с учетом граничного условия при получим

Рассматривая U как возмущение, можем положить в правой стороне равенства При а в левой стороне равенства пользуемся асимптотическими выражениями (33,12), (33,20), в интеграл же подставляем точное выражение (33,10), В результате получим

Эту формулу можно было бы получить также и путем прямого разложения борновской амплитуды рассеяния (126,4) по полиномам Лежандра в соответствии с (123,11) (при малых ).

5. Определить в борновском приближении полное сечение рассеяния в поле для быстрых частиц ).

Решение. Как будет видно, в данном случае в рассеянии основную роль играют парциальные амплитуды с большими моментами I. Поэтому сечение можно вычислять по формуле (123,11) с заменой в ней суммирования по I интегрированием; в борновском приближении все , так что

Фазы ; с большими вычисляются по (124,1)

Подстановкой интеграл приводится к известному интегралу Эйлера и дает

Интеграл (1) определяется областью чем оправдывается сделанное предположение. Вычисление интеграла приводит к результату:

Согласно (126,2) условие применимости борновского приближения в данном случае дается неравенством Обратим внимание на зависимость соответствующую сделанным в тексте общим утверждениям.

6. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния в двумерном случае (поле ; поток частиц падает в направлении оси ).

Решение. Использовав примечание на стр. 198 и известное асимптотическое выражение функции Ганкеля

найдем для поправки к волновой функции на больших расстояниях от оси поля (ось у) выражение

где амплитуда рассеяния

— двумерный радиус-вектор; — угол рассеяния в плоскости . В двумерном случае амплитуда рассеяния имеет размерность корня из длины, а сечение рассеяния — размерность длины.