§ 98. Непрерывные группы

Помимо конечных точечных групп, перечисленных в § 934 существуют непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это — группы аксиальной и сферической симметрий.

Простейшей из групп аксиальной симметрии является группа содержащая повороты на произвольный угол вокруг оси симметрии (ее называют двумерной группой вращений). Эту группу можно рассматривать как предельный случай групп при Аналогично, в качестве предельных случаев групп получаются непрерывные группы

Молекула обладает аксиальной симметрией только в том случае, если она состоит из атомов, расположенных по одной прямой. Если она при этом несимметрична относительно своей середины, то ее точечной группой будет группа содержащая, помимо поворотов вокруг оси, также и отражения в любой плоскости, проходящей через ось. Если же молекула симметрична относительно своей середины, то ее точечной группой будет группа Что же касается групп то они вообще не могут осуществляться в качестве групп симметрии молекулы.

Группа полной сферической симметрии содержит повороты на произвольный угол вокруг любой оси, проходящей через центр, и отражения в любой плоскости, проходящей через ту же точку; эта группа (которую обозначим посредством ) является группой симметрии отдельного атома. Она содержит в качестве подгруппы группу К всех пространственных поворотов (ее называют трехмерной группой вращений, или просто группой вращений). Группа может быть получена из группы К добавлением центра симметрии .

Элементы непрерывной точечной группы можно различать одним или несколькими параметрами, пробегающими непрерывный ряд значений. Так, в группе вращений параметрами могут быть три угла Эйлера, определяющие поворот системы координат.

Описанные в § 92 общие свойства конечных групп и относящиеся к ним понятия (как-то: понятия подгруппы, сопряженных элементов, классов и т. п.) непосредственно обобщаются на непрерывные группы. Теряют, разумеется, смысл те утверждения, которые непосредственно связаны с порядком группы (например, утверждение о том, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы).

В группе все плоскости симметрии эквивалентны, так что все отражения составляют один класс с непрерывным рядом элементов; ось симметрии двусторонняя, так что имеется непрерывный ряд классов, содержащих каждый по два элемента Классы группы получаются непосредственно из классов группы так как

В группе вращений К все оси эквивалентны и двусторонни; поэтому классами этой группы являются повороты на заданный по абсолютной величине угол вокруг любой оси. Классы группы получаются непосредственно из классов группы К.

Понятие представлений — приводимых и неприводимых — тоже непосредственно обобщается на случай непрерывных групп. Каждое неприводимое представление содержит непрерывный ряд матриц, но число преобразующихся друг через друга функций базиса (размерность представления) конечно. Эти функции могут быть всегда выбраны таким образом, чтобы представление было унитарным.

Число различных неприводимых представлений непрерывной группы бесконечно, но они составляют дискретный ряд, т. е. могут быть перенумерованы последовательными номерами. Для матричных элементов и характеров этих представлений имеют место соотношения ортогональности, обобщающие аналогичные соотношения для конечных групп. Вместо (94,9) имеем теперь

а вместо (94,10)

Интегрирование в этих формулах есть так называемое инвариантное интегрирование по группе; элемент интегрирования выражается через параметры группы и их дифференциалы, причем таким образом, что при воздействии на него всех преобразований группы снова получается элемент интегрирования. Так, в группе вращений можно выбрать , где — углы Эйлера, определяющие поворот системы координат (§ 58); при этом

Неприводимые представления трехмерной группы вращений мы по существу уже нашли (не пользуясь при этом терминологией теории групп), когда определяли собственные значения и собственные функции полного момента. Операторы компонент момента совпадают (с точностью до постоянного множителя) с операторами бесконечно малых поворотов, и собственные значения момента характеризуют поведение волновых функций по отношению к пространственным вращениям. Значению момента соответствует различных собственных функций отличающихся значениями проекции т. момента и относящихся к одному -кратно вырожденному уровню энергии. При поворотах системы координат эти функции преобразуются друг через друга, осуществляя, таким образом, неприводимые представления группы вращения. Следовательно, с точки зрения теории групп числа j нумеруют неприводимые представления группы вращений, при чем каждому j соответствует одно -мерное представление. Число пробегает целые и полуцелые значения, так что размерность представлений пробегает все целые значения

Функции базиса этих представлений были уже по существу исследованы в § 56, 57 (а матрицы представлений были найдены в § 58). Базисом представления с данным являются независимых компонент симметричного спинора ранга (которым эквивалентна совокупность функций ).

Неприводимые представления группы вращений, соответствующие полуцелым значениям отличаются существенной особенностью. Дело в том, что при повороте на угол функции их базиса (компоненты спинора нечетного ранга) меняют знак. Но поскольку поворот на совпадает с единичным элементом группы, то мы приходим к выводу, что представления с полуцелыми являются, как говорят, двузначными: каждому элементу группы (повороту вокруг некоторой оси на угол ) соответствует в таком представлении не одна, а две матрицы с противоположными по знаку характерами.

Изолированный атом обладает, как уже отмечалось, симметрией Поэтому, с точки зрения теории групп, каждому терму атома соответствует некоторое неприводимое представление группы вращений К (им определяется значение полного момента J атома) и неприводимое представление группы (чем определяется четность состояния).

При помещении атома во внешнее электрическое поле его уровни энергии расщепляются. Число возникающих при этом различных уровней и симметрия соответствующих состояний могут быть определены способом, описанным в § 96. Для этого надо разложить приводимое -мерное представление группы симметрии внешнего поля (осуществляемое функциями ) по неприводимым представлениям этой группы. В связи с этим возникает необходимость в знании характеров представления, осуществляемого функциями

Поскольку характеры неприводимых представлений элементов одного класса одинаковы, достаточно рассмотреть повороты вокруг одной оси — оси z.

При повороте на угол вокруг оси волновые функции умножаются, как мы знаем, на где М — проекция момента на данную ось. Поэтому матрица преобразования функций будет диагональна с характером

или

По отношению же к инверсии все функции с различными М ведут себя одинаковым образом — умножаются на или на —1, смотря по тому, четно или нечетно состояние атома. Поэтому характер

Наконец, характеры, соответствующие отражению в плоскости а и зеркальному повороту на угол вычисляются путем представления этих преобразований симметрии в виде

Остановимся еще на неприводимых представлениях группы аксиальной симметрии Этот вопрос был по существу уже решен, когда мы выясняли классификацию электронных термов двухатомной молекулы, обладающей как раз симметрией (если оба атома различны). Термам (термы с соответствуют два одномерных представления: единичное представление и представление в котором функция базиса инвариантна по отношению ко всем поворотам и меняет знак при отражениях в плоскостях Двукратно вырожденным же термам с соответствуют двумерные представления, которые обозначают как Функции их базиса умножаются на при повороте вокруг оси на угол а при отражении в плоскостях — переходят друг в друга. Характеры всех этих представлений:

(98,5)

Неприводимые представления группы получаются непосредственно из представлений группы (и соответствуют классификации термов двухатомной молекулы с одинаковыми ядрами).

Если взять для Q полуцелые значения, то функции осуществят двузначные неприводимые представления группы соответствующие термам молекулы с полуцелым спином.