Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 98. Непрерывные группыПомимо конечных точечных групп, перечисленных в § 934 существуют непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это — группы аксиальной и сферической симметрий. Простейшей из групп аксиальной симметрии является группа Молекула обладает аксиальной симметрией только в том случае, если она состоит из атомов, расположенных по одной прямой. Если она при этом несимметрична относительно своей середины, то ее точечной группой будет группа Группа полной сферической симметрии содержит повороты на произвольный угол вокруг любой оси, проходящей через центр, и отражения в любой плоскости, проходящей через ту же точку; эта группа (которую обозначим посредством Элементы непрерывной точечной группы можно различать одним или несколькими параметрами, пробегающими непрерывный ряд значений. Так, в группе вращений параметрами могут быть три угла Эйлера, определяющие поворот системы координат. Описанные в § 92 общие свойства конечных групп и относящиеся к ним понятия (как-то: понятия подгруппы, сопряженных элементов, классов и т. п.) непосредственно обобщаются на непрерывные группы. Теряют, разумеется, смысл те утверждения, которые непосредственно связаны с порядком группы (например, утверждение о том, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы). В группе В группе вращений К все оси эквивалентны и двусторонни; поэтому классами этой группы являются повороты на заданный по абсолютной величине Понятие представлений — приводимых и неприводимых — тоже непосредственно обобщается на случай непрерывных групп. Каждое неприводимое представление содержит непрерывный ряд матриц, но число преобразующихся друг через друга функций базиса (размерность представления) конечно. Эти функции могут быть всегда выбраны таким образом, чтобы представление было унитарным. Число различных неприводимых представлений непрерывной группы бесконечно, но они составляют дискретный ряд, т. е. могут быть перенумерованы последовательными номерами. Для матричных элементов и характеров этих представлений имеют место соотношения ортогональности, обобщающие аналогичные соотношения для конечных групп. Вместо (94,9) имеем теперь
а вместо (94,10)
Интегрирование в этих формулах есть так называемое инвариантное интегрирование по группе; элемент интегрирования Неприводимые представления трехмерной группы вращений мы по существу уже нашли (не пользуясь при этом терминологией теории групп), когда определяли собственные значения и собственные функции полного момента. Операторы компонент момента совпадают (с точностью до постоянного множителя) с операторами бесконечно малых поворотов, и собственные значения момента характеризуют поведение волновых функций по отношению к пространственным вращениям. Значению момента Функции базиса этих представлений были уже по существу исследованы в § 56, 57 (а матрицы представлений были найдены в § 58). Базисом представления с данным Неприводимые представления группы вращений, соответствующие полуцелым значениям Изолированный атом обладает, как уже отмечалось, симметрией При помещении атома во внешнее электрическое поле его уровни энергии расщепляются. Число возникающих при этом различных уровней и симметрия соответствующих состояний могут быть определены способом, описанным в § 96. Для этого надо разложить приводимое Поскольку характеры неприводимых представлений элементов одного класса одинаковы, достаточно рассмотреть повороты вокруг одной оси — оси z. При повороте на угол
или
По отношению же к инверсии
Наконец, характеры, соответствующие отражению в плоскости а и зеркальному повороту на угол
Остановимся еще на неприводимых представлениях группы аксиальной симметрии
Неприводимые представления группы Если взять для Q полуцелые значения, то функции
|
1 |
Оглавление
|