§ 56. Спиноры

При равном нулю спине волновая функция имеет всего одну компоненту; При воздействии оператора спина она обращается в нуль; Ввиду связи s с оператором бесконечно малых поворотов, это значит, что волновая функция частицы с нулевым спином не меняется при поворотах системы координат, т. е. является скаляром.

Волновая функция частицы со спином 1/2 имеет две компоненты: (1/2) и . Для удобства дальнейших обобщений будем отличать эти компоненты соответственно индексами 1 и 2, написанными у буквы сверху; двухкомпонентную величину

называют спинором.

При произвольном повороте системы координат компоненты спинора подвергаются линейному преобразованию

Его можно записать в виде

где U — матрида преобразования. Элементы этой матрицы, вообще говоря, комплексны и являются функциями углов поворота осей координат. Они связаны друг с другом соотношениями, непосредственно следующими из физических требований, предъявляемых в спинору, как к волновой функции частицы. Рассмотрим билинейную форму

где — два спинора. Простое вычисление дает

т. е. величина (56,4) при повороте системы координат преобразуется сама через себя. Но если имеется, всего одна преобразующаяся сама через себя функция, то она может рассматриваться как соответствующая спину нуль и, следовательно, должна быть скаляром т. е. должна вообще оставаться неизменной, при поворотах, системы координат. Отсюда получаем равенство

определитель матрицы преобразования равен единице.

Дальнейшие соотношения возникают из требования, чтобы было скаляром выражение

определяющее вероятность нахождения частицы в данной точке пространства. Преобразование, оставляющее инвариантной сумму квадратов модулей преобразуемых величин, есть унитарное преобразование, т. е. должно быть (см. § 12). При условии (56,5) обратная матрица

Приравняв ее сопряженной матрице

найдем соотношения

В силу соотношений (56,5) и (56,7) четыре комплексные величины а, b, с, d содержат в действительности всего три независимых вещественных параметра, что соответствует трем углам, определяющим поворот трехмерной системы координат.

Сравнив выражения скаляров (56,4) и (56,6), мы видим, что величины должны преобразовываться как ; легко проверить, что в силу соотношений (56,5) и (56,7) это действительно так.

Алгебре спиноров можно придать форму, аналогичную тензорной алгебре. Это достигается введением, наряду с контравариантными компонентами спинора, (индексы сверху), также и ковариантных компонент (индексы снизу) согласно определению

Инвариантная комбинация двух спиноров (56,4) запишется тогда в виде скалярного произведения

здесь и ниже по дважды повторяющимся (немым) индексам подразумевается суммирование подобно тому, как это принято в тензорной алгебре. Заметим следующее правило, которое надо иметь в виду в спинорной алгебре. Имеем , т. е.

Отсюда очевидно, что скалярное произведение всякого спинора самого на себя равно нулю:

(56,11)

Согласно сказанному выше величины преобразуются как , т. е.

(56,12)

Произведение можно написать также и в виде с транспонированной матрицей U. Ввиду унитарности матрицы U имеем так что или

(56,13)

Подобно переходу от векторов к тензорам в обычной тензорной алгебре, можно ввести понятие о спинорах высших рангов. Так, спинором второго ранга назовем четырехкомпонентную величину компоненты которой преобразуются как произведения компонент двух спиноров (спиноров первого ранга). Наряду с контравариантными компонентами можно рассматривать ковариантные и смешанные компоненты, преобразующиеся соответственно как фхфц и Аналогичным образом определяются спиноры любого ранга.

Переход от контра- к ковариантным компонентам спиноров и обратно можно представить в виде

(56,14)

где

— метрический спинор в векторном пространстве двух измерений. Таким же образом имеем, например,

так что .

Сами составляют антисимметричный единичный спинор второго ранга. Легко убедиться в том, что при преобразованиях координат его компоненты остаются неизменными и что

(56,16)

где .

Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре имеются две основные операции — умножение и упрощение (или свертывание) по паре индексов. Умножение двух спиноров дает спинор более высокого ранга; так, из двух спиноров второго и третьего рангов можно образовать спинор пятого ранга Упрощение по паре индексов (т. е. суммирование компонент по одинаковым значениям одного ко- и одного контравариантного индексов) понижает ранг спинора на две единицы.

Так, упрощение спинора по индексам и v дает спинор третьего ранга упрощение спинора дает скаляр

При этом имеет место правило, аналогичное выражаемому формулой (56,10): если переменить положения (верхнее и нижнее) индексов, по которым производится упрощение, то изменится знак величины (т. е. ). Отсюда, в частности, следует, что если спинор симметричен по каким-либо двум своим индексам, то в результате упрощенияпо этим индексам получим нуль. Так, для симметричного спинора второго ранга имеем .

Симметричным спинором ранга назовем спинор, симметричный по всем своим индексам. Из асимметричного спинора можно составить симметричный спинор путем симметризации — суммированием компонент, получающихся при всех возможных перестановках индексов. В силу сказанного выше из компонент симметричного спинора невозможно составить (путем упрощения) спинор более низкого ранга.

Что касается антисимметричного (по всем своим индексам) спинора, то таковым может быть только спинор второго ранга. Действительно, поскольку каждый индекс может пробегать всего два значения, то при трех или большем числе индексов по крайней мере два индекса будут иметь одинаковые значения, а потому компоненты спинора тождественно обратятся в нуль. Всякий антисимметричный спинор второго ранга сводится к скаляру, умноженному на единичный спинор Отметим здесь следующее, вытекающее из сказанного, соотношение:

где — произвольный спинор; это правило является следствием просто того, что стоящее в левой части равенства выражение представляет собой (как легко проверить) антисимметричный спинор третьего ранга.

Спинор, составленный как произведение спинора на самого себя, упрощенный по одной паре индексов, антисимметричен по другой; действительно,

Поэтому в силу сказанного выше этот спинор должен сводиться к спинору умноженному на скаляр. Определяя последний так, чтобы упрощение по второй паре индексов давало правильный результат, найдем

(56,18)

Компоненты спинора , комплексно сопряженного с преобразуются как. компоненты контравариантного спинора и наоборот. Сумма квадратов модулей компонент любого спинора является, следовательно, инвариантом.