§ 68. Водородоподобные уровни энергии

Единственным атомом, для которого уравнение Шредингера может быть решено точно, является простейший из всех атомов — атом водорода. Уровни энергии атома водорода, а также ионов , содержащих всего по одному электрону, определяются формулой Бора (36,10):

Здесь — заряд ядра; М — масса ядра; — электронная масса. Отметим, что зависимость от массы ядра очень слаба.

Формула (68,1) не учитывает никаких релятивистских эффектов. В этом приближении имеет место специфическое для атома водорода дополнительное (случайное) вырождение, о котором уже шла речь в § 36: при заданном главном квантовом числе энергия не зависит от орбитального момента l.

У других атомов существуют состояния, по своим свойствам напоминающие водородные. Речь идет о сильно возбужденных состояниях, в которых один из электронов обладает большим главным квантовым числом и потому находится в основном на больших расстояниях от ядра. Движение такого электрона можно рассматривать, в некотором приближении, как движение в кулоновом поле атомного остатка с эффективным зарядом, равным единице. Получающиеся, таким образом, значения уровней энергии оказываются, однако, слишком неточными, и в них надо ввести поправку, учитывающую отклонение поля на малых расстояниях от чисто кулонова. Характер этой поправки легко выяснить из следующих соображений.

Ввиду квазиклассичности состояний с большими квантовыми числами уровни энергии могут определяться из правил квантования Бора — Зоммерфельда (48,6). Отклонение поля от кулонова на малых (по сравнению с «радиусом орбиты») расстояниях от ядра можно учесть формально как изменение накладываемого на волновую функцию граничного условия при

Это приведет к изменению постоянной у в условии квантования радиального движения. Поскольку в остальном это условие останется неизменным, мы можем заключить, что для уровней энергии получится выражение, отличающееся от водородного заменой радиального, или, что то же, главного квантового числа на где — некоторая постоянная (так называемая поправка Ридберга):

Поправка Ридберга не зависит (по самому своему определению) от , но является, конечно, функцией азимутального квантового числа l возбужденного электрона (которые мы приписываем к А в виде индекса), а также от моментов L и S атома в целом. При заданных L и быстро убывает с увеличением l. Чем больше тем меньше времени электрон проводит вблизи ядра, а потому уровни энергии должны все больше приближаться к водородным 1).

Задача

Найти асимптотическое выражение волновой функции водородоподобного -состояния электрона на больших расстояниях от атомного остатка.

Решение. На больших расстояниях, где поле (в атомных единицах), искомая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

где Ищем решение в виде пренебрегая в уравнении членами, убывающими быстрее, чем найдем