§ 12. Преобразование матриц

Матричные элементы одной и той же физической величины могут определяться по отношению к различным совокупностям волновых функций. Это могут быть, например, волновые функции стационарных состояний, описывающихся различными наборами физических величин, или волновые функции стационарных состояний одной и той же системы, находящейся в различных внешних полях. В связи с этим возникает вопрос о преобразовании матриц от одного представления к другому.

Пусть и полные системы ортонормированных функций. Они связаны друг с другом некоторым линейным преобразованием

представляющим собой просто разложение функций по полной системе функций Это преобразование можно записать в операторном виде

Оператор S должен удовлетворять определенному условию для того, чтобы обеспечить ортонормированность функций если таковыми являются функции

Действительно, подставив (12,2) в условие и учитывая определение транспонированного оператора (3,14), получим

Для того чтобы это равенство имело место при всех должно быть или

т. е. обратный оператор совпадает с сопряженным. Операторы, обладающие таким свойством, называют унитарными. В силу этого свойства преобразование обратное преобразованию (12,1), дается формулой

(12,4)

Написав равенства или в матричном виде, получим условия унитарности в виде

или

Рассмотрим теперь какую-либо физическую величину и напишем ее матричные элементы в «новом» представлении, т. е. по отношению к функциям Они даются интегралами

Отсюда видно, что матрица оператора f в новом представлении совпадает с матрицей оператора

в старом представлении.

Сумму диагональных элементов матрицы называют ее следом и обозначают как :

Отметим прежде всего, что след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей

Действительно, по правилу умножения матриц имеем

Аналогичным образом легко убедиться в том, что для произведения нескольких матриц след не меняется при циклической перестановке множителей; так,

(12,10)

Важнейшим свойством следа является его независимость от выбора системы функций, по отношению к которым определяются матричные элементы. Действительно,

(12,11)

Отметим также, что унитарное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов модулей преобразуемых функций. Действительно, учитывая (12,6), имеем

(12,12)

Всякий унитарный оператор можно представить в виде

(12,13)

где - эрмитов оператор; действительно, из следует, что

Отметим разложение

в котором легко убедиться прямой проверкой путем разложения множителей по степеням оператора R. Это разложение может оказаться полезным, когда R пропорционален малому параметру, так что (12,14) становится разложением по степеням этого параметра.