ГЛАВА XVII. УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ

§ 123. Общая теория рассеяния

В классической механике столкновения двух частиц полностью определяются их скоростями и прицельным расстоянием (расстоянием, на котором они прошли бы друг мимо друга при отсутствии взаимодействия). В квантовой механике меняется сама постановка вопроса, так как при движении с определенными скоростями понятие траектории, а с нею и прицельного расстояния теряет смысл. Целью теории является здесь лишь вычисление вероятности того, что в результате столкновения частицы отклонятся (или, как говорят, рассеются) на тот или иной угол. Мы говорим здесь о так называемых упругих столкновениях, при которых не происходит никаких превращений частиц или (если это частицы сложные) не меняется их внутреннее состояние.

Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче о рассеянии одной частицы с приведенной массой в поле неподвижного силового центра. Сведение осуществляется переходом к системе координат, в которой покоится центр инерции обеих частиц. Угол рассеяния в этой системе обозначим посредством . Он связан простыми формулами с углами и отклонения обеих частиц в «лабораторной» системе координат, в которой одна из частиц (вторая) до столкновения покоилась:

где — массы частиц (см. I, § 17). В частности, если массы обеих частиц одинаковы то получается просто

(123,2)

сумма — т. е. частицы разлетаются под прямым углом.

Ниже в этой главе мы пользуемся везде (где противное не оговорено особо) системой координат, связанной с центром инерции, а под подразумевается приведенная масса сталкивающихся частиц.

Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси z, описывается плоской волной, которую мы напишем в виде , t т. е. выберем нормировку, при которой плотность потока в волне равна скорости частиц V. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида где — некоторая функция угла рассеяния (угол между осью z и направлением рассеянной частицы); эту функцию называют амплитудой рассеяния. Таким образом, точная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера с потенциальной энергией , должна иметь на больших расстояниях асимптотический вид

(123,3)

Вероятность рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент поверхности — элемент телесного угла) . Ее отношение к плотности потока в падающей волне равно

Эта величина имеет размерность площади и называется эффективным сечением (или просто сечением) рассеяния внутри телесного угла . Если положить то мы получим сечение

(123,5)

для рассеяния в интервале углов между и .

Решение уравнения Шредингера, описывающее рассеяние в центральном поле , должно, очевидно, быть аксиальносимметричным относительно оси z — направления падающих частиц. Всякое такое решение может быть представлено в виде суперпозиции волновых функций непрерывного спектра, отвечающих движению в данном поле частиц с заданной энергией и орбитальными моментами с различными величинами I и равными нулю -проекциями (эти функции не зависят от азимутального угла вокруг оси , т. е. аксиально-симметричны).

Таким образом, искомая волновая функция имеет форму

(123,6)

где — постоянные, — радиальные функции, удовлетворяющие уравнению

Коэффициенты должны быть выбраны так, чтобы функция имела на больших расстояниях асимптотический Покажем, что для этого надо положить

(123,8)

где — фазовые сдвиги функций . Тем самым будет решена также и задача о выражении амплитуды рассеяния через эти фазы. Асимптотический вид функции дается формулой (33,20)

Подставив это выражение, а также (123,8) в (123,6), получим асимптотическое выражение волновой функции в виде

(123,9)

где введено обозначение

(123,10)

С другой стороны, разложение плоской волны (34,2), после такого же преобразования, есть

Мы видим, что в разности все члены, содержащие множители как и следовало, выпадают. Для коэффициента же при в этой разности, т. е. для амплитуды рассеяния, находим

(123,11)

Эта формула решает задачу о выражении амплитуды рассеяния через фазы (Н. Faxen, J. Holtsmark, 1927) .

Проинтегрировав по всем углам, мы получим полное сечение рассеяния , представляющее собой отношение полной вероятности рассеяния частицы (в единицу времени) к плотности потока в падающей волне. Подставляя (123,11) в интеграл

и помня, что полиномы Лежандра с различными взаимно ортогональны, а

получим следующее выражение для полного сечения:

Каждый из членов этой суммы представляет собой парциальное сечение для рассеяния частиц с заданным орбитальным моментом l. Отметим, что максимальное возможное значение этого сечения есть

(123,13)

Сравнив его с формулой (34,5), видим, что число частиц, рассеянных с моментом l, может оказаться в 4 раза большим числа таких частиц в падающем потоке. Это обстоятельство является чисто квантовым эффектом, связанным с интерференцией между рассеянными и нерассеянными частицами.

Ниже нам будет удобно пользоваться также парциальными амплитудами рассеяния которые мы определим как коэффициенты разложения

Согласно (123,11) они связаны с фазами 8г посредством

(123-15)

а парциальные сечения

Задача

Выразить амплитуду рассеяния через фазовые сдвиги в двумерном случае. Поле Поток частиц в направлении оси .

Решение. В двумерном случае волновая функция вдали от рассеивателя представляет собой суперпозицию плоской и расходящейся цилиндрической волн:

Здесь — угол между осью и направлением рассеяния, — амплитуда рассеяния, имеющая в двумерном случае размерность корня из длины. Множитель под корнем введен для упрощения последующих формул. Сечение рассеяния, отнесенное к единице длины вдоль оси у, равно

Оно имеет размерность длины.

Волновую функцию нужно разложить по функциям с определенной проекцией углового момента на ось у, имеющим вид . Радиальные функции на больших расстояниях от рассеивателя отличаются от полученных в задаче к § 34 функций свободного движения только фазовым сдвигом

причем Повторяя рассуждения настоящего параграфа с использованием разложения плоской волны из задачи к § 34, находим, что функция с асимптотическим видом (1) дается рядом

в амплитуда рассеяния равна

Интегрируя, находим полное сечение

Нетрудно убедиться в справедливости соотношения

выражающего собой оптическую теорему для двумерного случая (см. ниже формулу (125,9)).