§ 5. Непрерывный спектр

Все выведенные в § 3, 4 соотношения, описывающие свойства собственных функций дискретного спектра, без труда могут быть обобщены на случай непрерывного спектра собственных значений.

Пусть — физическая величина, обладающая непрерывным спектром. Ее собственные значения мы будем обозначать просто той же буквой без индекса, а соответствующие собственные функции будем обозначать Подобно тому как произвольная волновая функция может быть разложена в ряд (3,2) по собственным функциям величины с дискретным спектром, она может быть также разложена — на этот раз в интеграл — и по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром. Такое разложение имеет вид

где интегрирование производится по всей области значений, которые может принимать величина .

Более сложным, чем в случае дискретного спектра, является вопрос о нормировке собственных функций непрерывного спектра. Требование равенства единице интеграла от квадрата модуля функции здесь, мы как увидим далее, невыполнимо. Вместо этого поставим себе целью пронормировать функции таким образом, чтобы представляло собой вероятность рассматриваемой физической величине иметь в состоянии, описывающемся волновой функцией , значение в заданном интервале между Поскольку сумма вероятностей всех возможных значений f должна быть равна единице, то имеем

(аналогично соотношению (3,3) для дискретного спектра).

Поступая в точности аналогично тому, как мы делали при выводе формулы (3,5), и используя те же соображения, пишем, с одной стороны,

и, с другой стороны,

Из сравнения обоих выражений находим формулу, определяющую коэффициенты разложения

в точности аналогичную (3,5).

Для вывода условия нормировки подставим теперь (5,1) в (5.3):

Это соотношение должно иметь место при произвольных и потому должно рыполняться тождественно. Для этого необходимо прежде всего, чтобы коэффициент при под знаком интеграла (т. е. интеграл обращался в нуль при всех . При этот коэффициент должен обратиться в бесконечность (в противном случае интеграл по будет равен просто нулю). Таким образом, интеграл есть функция разности обращающаяся в нуль при отличных от нуля значениях аргумента и в бесконечность при равном нулю аргументе. Обозначим эту функцию посредством :

Способ обращения функции в бесконечность при определяется тем, что должно быть

Ясно, что для этого должно быть

Определенная таким образом функция называется -функцией. Выпишем еще раз определяющие ее формулы. Имеем

причем так, что

В качестве пределов интегрирования можно написать любые другие, между которыми находится точка Если есть некоторая функция, непрерывная при х = 0, то

В более общем виде эта формула может быть написана как

(5,8)

где область интегрирования включает точку — непрерывна при Очевидно также, что -функция четна, т. е.

Наконец, написав

заключаем, что

где а — любая постоянная.

Формула (5,4) выражает собой правило нормировки собственных функций непрерывного спектра; она заменяет собой условие (3,6) дискретного спектра. Мы видим, что функции по-прежнему ортогональны друг к другу. Интегралы же от квадратов функций непрерывного спектра расходятся.

Функции удовлетворяют еще одному соотношению, сходному с (5,4). Для его вывода подставляем (5,3) в (5,1), что дает

откуда сразу заключаем, что должно быть

Аналогичное соотношение может быть, разумеется, выведено и для дискретного спектра, где оно имеет вид

Сравнив пару формул (5,1) и (5,4) с парой (5,3) и (5,11), мы видим, что, с одной стороны, функции ?, осуществляют разложение функции с коэффициентами разложения а, с другой стороны, формулу (5,3) можно рассматривать как совершенно аналогичное разложение функции по функциям 47 (q), причем роль коэффициентов разложения играет . Функция а как и , вполне определяет состояние системы; о ней говорят как о волновой функции в -представлении (а о функции ) — как о волновой функции в - представлении). Подобно тому как определяет вероятность для системы иметь координаты в заданном интервале так определяет вероятность значений величины в заданном интервале Функции же являются, с одной стороны, собственными функциями величины в -представлении и, с другой стороны, их комплексно сопряженные представляют собой собственные функции координаты q в -представлении.

Пусть — некоторая функция величины причем такая, что связаны друг с другом взаимно однозначным образом. Каждую из функций можно тогда рассматривать и как собственную функцию величины .

При этом, однако, необходимо изменить нормировку этих функций. Действительно, собственные функции величины должны быть нормированы условием

между тем как функции нормированы условием (5,4). Аргумент -функции обращается в нуль при При близком к , имеем

Ввиду (5,10) мы можем поэтому написать

Сравнение (5,13) с (5,4) показывает теперь, что функции и связаны друг с другом соотношением

Существуют такие физические величины, которые обладают в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в другой — непрерывным. Для собственных функций такой величины имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только отметить, что полную систему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложение произвольной волновой функции по собственным функциям такой величины имеет вид

где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непрерывному спектру.

Примером величины, обладающей непрерывным спектром, является сама координата q. Легко видеть, что соответствующим ей оператором является простое умножение на q.

Действительно, поскольку вероятность различных значений координаты определяется квадратом , то среднее значение координаты

Сравнив это выражение с определением операторов согласно (3,8), мы видим, что

Собственные функции этого оператора должны определяться, согласно общему правилу, уравнением , где посредством временно обозначены конкретные значения координаты в отличие от переменной а. Поскольку это равенство может удовлетворяться либо при , либо при , то ясно, что удовлетворяющие условию нормировки собственные функции есть