Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА VI. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ§ 38. Возмущения, не зависящие от времениТочное решение уравнения Шредингера может быть найдено лишь в сравнительно небольшом числе простейших случаев. Большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным образом. Часто, однако, в условиях задачи фигурируют величины разного порядка; среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что делается возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении поставленной физической задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй — в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений. Предположим, что гамильтониан данной физической системы имеет вид
где V представляет собой малую поправку (возмущение) к «невозмущенному» оператору Задача теории возмущений для дискретного спектра может быть сформулирована следующим образом. Предполагается, что собственные функции
Требуется найти приближенные решения уравнения
т. е. приближенные выражения для собственных функций В этом параграфе мы будем предполагать, что все собственнее значения оператора Вычисления удобно производить с самого начала в матричном виде. Для этого разложим искомую функцию
Подставляя это разложение в (38,2), получим
а умножив это равенство с обеих сторон на
Здесь введена матрица
Будем искать значения коэффициентов
где величины Определим поправки к
Таким образом, поправка первого приближения к собственному значению Уравнение (38,4) с
а Для этого надо положить
(штрих у знака суммы означает, что при суммировании по Формула (38,8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство
т. е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии. Определим еще поправку второго приближения к собственному значению
откуда
(мы подставили Отметим, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Действительно, если Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным образом. Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай наличия у оператора Будем отличать различные состояния непрерывного спектра индексом v, пробегающим непрерывный ряд значений; под
и аналогично для других формул. Полезно привести также формулу для возмущенных значений матричных элементов какой-либо физической величины
В первой сумме Задачи1. Определить поправку второго приближения Решение. Коэффициенты
где мы ввели частоты
2. Определить поправку третьего приближения к собственным значениям энергии. Решение. Выписывая в уравнении (38,4) с
3. Определить уровни энергии ангармонического линейного осциллятора с гамильтонианом
Решение. Матричные элементы от
Диагональные элементы в этой матрице отсутствуют, так что поправка первого приближения от члена
С помощью общих формул (38,6) и (38,10) находим в результате следующее приближенное выражение для уровней энергии ангармонического осциллятора:
4. Сферическая потенциальная яма с бесконечно высокими стенками подвергается малой деформации (без изменения объема), принимая форму слабо вытянутого или сплюснутого эллипсоида вращения с полуосями Решение. Уравнение границы ямы
путем замены переменных
Таким образом, задача о движении в эллипсоидальной яме сводится к задаче о движении в сферической яме. Если эллипсоид мало отличается от сферы радиуса
представим оператор возмущения в виде
В первом порядке теории возмущений изменение уровней энергии частицы, по сравнению с уровнями в сферической яме:
(
(таблица Далее пишем
(в первом члене использовано уравнение Шредингера
Радиальные интегралы вычисляются по формулам
получающимся путем интегрирования по частям и использования радиального уравнения Шредингера (33,3)
Члены с интегралами от
Отметим, что
т. e. «центр тяжести» мультиплета не смещается.
|
1 |
Оглавление
|