ГЛАВА VI. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 38. Возмущения, не зависящие от времени

Точное решение уравнения Шредингера может быть найдено лишь в сравнительно небольшом числе простейших случаев. Большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным образом. Часто, однако, в условиях задачи фигурируют величины разного порядка; среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что делается возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении поставленной физической задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй — в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений.

Предположим, что гамильтониан данной физической системы имеет вид

где V представляет собой малую поправку (возмущение) к «невозмущенному» оператору . В § 38, 39 мы будем рассматривать возмущения V, не зависящие явно от времени (то же самое предполагается и в отношении ). Условия, необходимые для того, чтобы можно было рассматривать оператор V как «малый» по сравнению с оператором , будут выяснены ниже.

Задача теории возмущений для дискретного спектра может быть сформулирована следующим образом. Предполагается, что собственные функции и собственные значения дискретного спектра невозмущенного оператора известны, т. е. известны точные решения уравнения

Требуется найти приближенные решения уравнения

т. е. приближенные выражения для собственных функций и значений возмущенного оператора Н.

В этом параграфе мы будем предполагать, что все собственнее значения оператора не вырождены. Кроме того, для упрощения выводов будем считать сначала, что имеется только дискретный спектр уровней энергии.

Вычисления удобно производить с самого начала в матричном виде. Для этого разложим искомую функцию по функциям

Подставляя это разложение в (38,2), получим

а умножив это равенство с обеих сторон на и интегрируя, найдем

Здесь введена матрица оператора возмущения V, определенная с помощью невозмущенных функций

Будем искать значения коэффициентов и энергии Е в виде рядов

где величины — того же порядка малости, что и возмущение V, величины — второго порядка малости, и т. д.

Определим поправки к собственному значению и собственной функции, соответственно чему полагаем: . Для отыскания первого приближения подставим в уравнение сохранив только члены первого порядка. Уравнение с дает

Таким образом, поправка первого приближения к собственному значению равна среднему значению возмущения в состоянии

Уравнение (38,4) с дает

а остается произвольным и оно должно быть выбрано так, чтобы функция была нормирована с точностью до членов первого порядка включительно.

Для этого надо положить Действительно, функция

(штрих у знака суммы означает, что при суммировании по надо опустить член ортогональна а поэтому интеграл от отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости.

Формула (38,8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство

т. е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии.

Определим еще поправку второго приближения к собственному значению . Для этого подставляем в (38,4) и рассматриваем члены второго порядка малости. Уравнение дает

откуда

(мы подставили ) из (38,7) и воспользовались тем, что в силу эрмитовости оператора

Отметим, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Действительно, если соответствует наименьшему значению, то все члены в сумме (38,10) отрицательны.

Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным образом.

Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай наличия у оператора также и непрерывного спектра (причем речь идет по-прежнему о возмущенном состоянии дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дискретному спектру прибавить соответствующие интегралы по непрерывному спектру.

Будем отличать различные состояния непрерывного спектра индексом v, пробегающим непрерывный ряд значений; под условно подразумевается совокупность значений величин, достаточных для полного определения состояния (если состояния непрерывного спектра вырождены, что почти всегда и бывает, то задания одной только энергии недостаточно для определения состояния). Тогда, например, вместо (38,8) надо будет писать

(38,11)

и аналогично для других формул.

Полезно привести также формулу для возмущенных значений матричных элементов какой-либо физической величины вычисленных с точностью до членов первого порядка с помощью функций из (38,8). Легко получить следующее выражение)

В первой сумме , а во второй .

Задачи

1. Определить поправку второго приближения к собственным функциям.

Решение. Коэффициенты вычисляем из уравнений (38,4) с , написанных с точностью до членов второго порядка, а коэффициент подбираем так, чтобы функция была нормирована с точностью до членов второго порядка. В результате находим

где мы ввели частоты

2. Определить поправку третьего приближения к собственным значениям энергии.

Решение. Выписывая в уравнении (38,4) с члены третьего порядка малости, получим

3. Определить уровни энергии ангармонического линейного осциллятора с гамильтонианом

Решение. Матричные элементы от можно получить непосредственно согласно правилу умножения матриц, используя выражение (23,4) для матричных элементов от х. Для отличных от нуля матричных элементов от найдем

Диагональные элементы в этой матрице отсутствуют, так что поправка первого приближения от члена в гамильтониане (рассматриваемого как возмущение к гармоническому осциллятору) отсутствует. Поправка же второго приближения от этого члена — того же порядка, что и поправка первого приближения от члена Диагональные матричные элементы от имеют вид

С помощью общих формул (38,6) и (38,10) находим в результате следующее приближенное выражение для уровней энергии ангармонического осциллятора:

4. Сферическая потенциальная яма с бесконечно высокими стенками подвергается малой деформации (без изменения объема), принимая форму слабо вытянутого или сплюснутого эллипсоида вращения с полуосями и с. Найти расщепление уровней энергии частицы в яме при такой деформации (А. Б. Мигдал, 1959).

Решение. Уравнение границы ямы

путем замены переменных превращается в уравнение сферы радиуса Этой же заменой гамильтониан частицы (М — масса частицы; энергия отсчитывается от дна ямы) преобразуется в , где

Таким образом, задача о движении в эллипсоидальной яме сводится к задаче о движении в сферической яме. Если эллипсоид мало отличается от сферы радиуса то V можно рассматривать как малое возмущение. Введя «степень эллипсоидальности , согласно

представим оператор возмущения в виде

В первом порядке теории возмущений изменение уровней энергии частицы, по сравнению с уровнями в сферической яме:

( — величина момента частицы и его проекция на ось эллипсоида; нумерует уровни в сферической яме при заданном I; последние от числа не зависят). Заметив, что выражение представляет собой -компоненту неприводимого тензора (тензор с равным нулю следом) — согласно (107,2) и (107,6), найдем, что матричный элемент пропорционален

, и потому

(таблица -символов дана на стр. 512).

Далее пишем

(в первом члене использовано уравнение Шредингера сферической ямы, а во втором произведено интегрирование по частям). Для производной от функции находим, используя выражение в виде (28,11)

Радиальные интегралы вычисляются по формулам

получающимся путем интегрирования по частям и использования радиального уравнения Шредингера (33,3)

Члены с интегралами от ответе взаимно сокращаются, и окончательный результат

Отметим, что

т. e. «центр тяжести» мультиплета не смещается.