Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 45. Потенциальная энергия как возмущениеОсобого рассмотрения заслуживает случай, когда в качестве возмущения может рассматриваться полная потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Невозмущенное уравнение Шредингера есть тогда уравнение свободного движения частицы
и имеет решениями плоские волны. Энергетический спектр свободного движения непрерывен, так что мы имеем дело со своеобразным случаем теории возмущений в непрерывном спектре. Решение задачи удобнее получить здесь непосредственно, не прибегая к общим формулам. Уравнение для поправки
(U — потенциальная энергия). Решение этого уравнения, как известно из электродинамики, может быть написано в виде «запаздывающих потенциалов», т. е. в виде
Выясним, каким условиям должно удовлетворять поле U для того, чтобы его можно было рассматривать как возмущение. Условие применимости теории возмущений заключается в требовании Тогда множитель
Отметим, что выражение Рассмотрим, в частности, потенциальную яму настолько неглубокую, что для нее выполняется условие (45,4). Легко видеть, что в такой яме не существует отрицательных уровней энергии (R. Peierls, 1929); мы видели это уже в задаче к § 33 для частного случая сферически-симметричной ямы. Действительно, при Необходимо подчеркнуть, что все сказанное относится только к трехмерной яме. В одно- и двумерной яме (т. е. в которой поле есть функция только от одной или двух координат) всегда имеются уровни отрицательной энергии (см. задачи к этому параграфу). Это связано с тем, что в одно- и двумерном случаях рассматриваемая теория возмущений вообще неприменима при равной нулю (или очень малой) энергии Е. В случае больших энергий, когда Решение (45,3) может быть в этом случае преобразовано к другому виду, для вывода которого, однако, удобнее обратиться непосредственно к уравнению (45,2). Выберем направление невозмущенного движения в качестве оси х; тогда невозмущенная волновая функция имеет вид
в виде
откуда
Оценка этого интеграла дает
( Применимость развитой здесь теории возмущений к кулонову полю требует особого рассмотрения. В поле
Таким образом, при больших энергиях частицы кулоново поле можно рассматривать как возмущение. Наконец, выведем формулу, приближенно определяющую волновую функцию частицы с энергией Е, везде значительно превышающей потенциальную энергию U (выполнения каких-либо других условий при этом не требуется). В первом приближении зависимость волновой функции от координат такая же, как для свободного движения (направление которого выберем в качестве оси х). Соответственно этому, ищем
откуда
Это и есть искомое выражение. Следует, однако, иметь в виду, что оно неприменимо на слишком больших расстояниях. В уравнении (45,8) опущен член Задачи1. Определить уровень энергии в одномерной потенциальной яме малой глубины; предполагается, что условие (45,4) выполнено. Решение. Делаем предположение, подтверждающееся результатом, что уровень энергии
можно в области ямы пренебречь
Проинтегрируем это равенство по Ввиду сходимости интеграла от
Вдали от ямы волновая функция имеет вид
или
Мы видим, в согласии со сделанным предположением, что величина уровня оказывается малой величиной более высокого (второго) порядка, чем глубина ямы. 2. Определить уровень энергии в двумерной потенциальной яме Решение, Поступая, как в предыдущей задаче, получим в области ямы уравнение
Интегрируя его по
Вдали от ямы уравнение двумерного свободного движения
имеет решение (обращающееся на бесконечности в нуль)
откуда
Мы видим, что уровень энергии оказывается экспоненциально малым по сравнению с глубиной ямы.
|
1 |
Оглавление
|