Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 45. Потенциальная энергия как возмущение

Особого рассмотрения заслуживает случай, когда в качестве возмущения может рассматриваться полная потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Невозмущенное уравнение Шредингера есть тогда уравнение свободного движения частицы

и имеет решениями плоские волны. Энергетический спектр свободного движения непрерывен, так что мы имеем дело со своеобразным случаем теории возмущений в непрерывном спектре. Решение задачи удобнее получить здесь непосредственно, не прибегая к общим формулам.

Уравнение для поправки первого приближения к волновой функции гласит:

(U — потенциальная энергия). Решение этого уравнения, как известно из электродинамики, может быть написано в виде «запаздывающих потенциалов», т. е. в виде

Выясним, каким условиям должно удовлетворять поле U для того, чтобы его можно было рассматривать как возмущение. Условие применимости теории возмущений заключается в требовании . Пусть а есть порядок величины размеров области пространства, в котором поле заметно отличается от нуля. Предположим сначала, что энергия частицы настолько мала, что меньше или порядка единицы.

Тогда множитель в подынтегральном выражении в (45,3) несуществен при оценке порядка величины, и весь интеграл будет порядка так что и мы получаем условие

Отметим, что выражение имеет простой физический смысл — это есть порядок величины кинетической энергии, которой обладала бы частица, заключенная в объеме с линейными размерами а (поскольку, согласно соотношению неопределенности ее импульс был бы ).

Рассмотрим, в частности, потенциальную яму настолько неглубокую, что для нее выполняется условие (45,4). Легко видеть, что в такой яме не существует отрицательных уровней энергии (R. Peierls, 1929); мы видели это уже в задаче к § 33 для частного случая сферически-симметричной ямы. Действительно, при невозмущенная волновая функция сводится к постоянной, которую можно условно принять равной единице: . Поскольку то ясно, что волновая функция движения в яме, , нигде не обращается в нуль; собственная же функция, не имеющая узлов, относится к нормальному состоянию, так что Е = 0 остается наименьшим возможным значением энергии частицы. Таким образом, если яма недостаточно глубока, то возможно только инфинитное движение частицы — частица не может «захватиться» ямой. Обратим внимание на то, что этот результат имеет специфически квантовый характер — в классической механике частица может совершать финитное движение в любой потенциальной яме.

Необходимо подчеркнуть, что все сказанное относится только к трехмерной яме. В одно- и двумерной яме (т. е. в которой поле есть функция только от одной или двух координат) всегда имеются уровни отрицательной энергии (см. задачи к этому параграфу). Это связано с тем, что в одно- и двумерном случаях рассматриваемая теория возмущений вообще неприменима при равной нулю (или очень малой) энергии Е.

В случае больших энергий, когда , множитель в подынтегральном выражении играет существенную роль, сильно уменьшая величину интеграла.

Решение (45,3) может быть в этом случае преобразовано к другому виду, для вывода которого, однако, удобнее обратиться непосредственно к уравнению (45,2). Выберем направление невозмущенного движения в качестве оси х; тогда невозмущенная волновая функция имеет вид (постоянный множитель условно полагаем равным единице). Ищем решение уравнения

в виде , причем ввиду предполагаемой большой величины k достаточно сохранить в только те члены, в которых дифференцируется (хотя бы один раз) множитель Тогда мы получим для уравнение

откуда

Оценка этого интеграла дает так что условием применимости теории возмущений в этом случае будет

( — скорость частицы). Обратим внимание на то, что это условие — более слабое, чем (45,4). Поэтому, если можно рассматривать поле как возмущение при малых энергиях частицы, то это во всяком случае возможно и при больших энергиях, между тем как обратное, вообще говоря, не имеет места

Применимость развитой здесь теории возмущений к кулонову полю требует особого рассмотрения. В поле нельзя выделить конечной области пространства, вне которой U было бы значительно меньше, чем внутри нее. Искомое условие можно получить, написав в (45,6) переменное расстояние вместо параметра это приводит к неравенству

Таким образом, при больших энергиях частицы кулоново поле можно рассматривать как возмущение.

Наконец, выведем формулу, приближенно определяющую волновую функцию частицы с энергией Е, везде значительно превышающей потенциальную энергию U (выполнения каких-либо других условий при этом не требуется). В первом приближении зависимость волновой функции от координат такая же, как для свободного движения (направление которого выберем в качестве оси х). Соответственно этому, ищем в виде , где F есть функция координат, меняющаяся медленно по сравнению с множителем (о ней, однако, нельзя, вообще говоря, утверждать, что она близка к единице). Подставляя в уравнение Шредингера, получим для F уравнение

откуда

(45,9)

Это и есть искомое выражение. Следует, однако, иметь в виду, что оно неприменимо на слишком больших расстояниях. В уравнении (45,8) опущен член , содержащий вторые производные от F. Производная вместе с первой производной стремится на больших расстояниях к нулю. Производные же по поперечным координатам у, z к нулю не стремятся, и пренебрежение ими возможно лишь при условии

Задачи

1. Определить уровень энергии в одномерной потенциальной яме малой глубины; предполагается, что условие (45,4) выполнено.

Решение. Делаем предположение, подтверждающееся результатом, что уровень энергии Тогда в правой стороне уравнения Шредингера

можно в области ямы пренебречь , а также считать постоянной, которую без ограничения общности можйо положить равной единице:

Проинтегрируем это равенство по между двумя точками такими, что где а — ширина ямы, а

Ввиду сходимости интеграла от можно распространить интегрирование справа по всей области от до

Вдали от ямы волновая функция имеет вид Подставляя это в найдем

или

Мы видим, в согласии со сделанным предположением, что величина уровня оказывается малой величиной более высокого (второго) порядка, чем глубина ямы.

2. Определить уровень энергии в двумерной потенциальной яме ( — полярная координата в плоскости) малой глубины; предполагается, что интеграл сходится.

Решение, Поступая, как в предыдущей задаче, получим в области ямы уравнение

Интегрируя его по от 0 до (где ), имеем

Вдали от ямы уравнение двумерного свободного движения

имеет решение (обращающееся на бесконечности в нуль) при малых значениях аргумента главный член в этой функции пропорционален Имея это в виду, приравниваем при г — а логарифмические производные от вычисленные в яме (правая сторона ) и вне ее, и получаем

откуда

Мы видим, что уровень энергии оказывается экспоненциально малым по сравнению с глубиной ямы.

1
Оглавление
email@scask.ru