§ 45. Потенциальная энергия как возмущение

Особого рассмотрения заслуживает случай, когда в качестве возмущения может рассматриваться полная потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Невозмущенное уравнение Шредингера есть тогда уравнение свободного движения частицы

и имеет решениями плоские волны. Энергетический спектр свободного движения непрерывен, так что мы имеем дело со своеобразным случаем теории возмущений в непрерывном спектре. Решение задачи удобнее получить здесь непосредственно, не прибегая к общим формулам.

Уравнение для поправки первого приближения к волновой функции гласит:

(U — потенциальная энергия). Решение этого уравнения, как известно из электродинамики, может быть написано в виде «запаздывающих потенциалов», т. е. в виде

Выясним, каким условиям должно удовлетворять поле U для того, чтобы его можно было рассматривать как возмущение. Условие применимости теории возмущений заключается в требовании . Пусть а есть порядок величины размеров области пространства, в котором поле заметно отличается от нуля. Предположим сначала, что энергия частицы настолько мала, что меньше или порядка единицы.

Тогда множитель в подынтегральном выражении в (45,3) несуществен при оценке порядка величины, и весь интеграл будет порядка так что и мы получаем условие

Отметим, что выражение имеет простой физический смысл — это есть порядок величины кинетической энергии, которой обладала бы частица, заключенная в объеме с линейными размерами а (поскольку, согласно соотношению неопределенности ее импульс был бы ).

Рассмотрим, в частности, потенциальную яму настолько неглубокую, что для нее выполняется условие (45,4). Легко видеть, что в такой яме не существует отрицательных уровней энергии (R. Peierls, 1929); мы видели это уже в задаче к § 33 для частного случая сферически-симметричной ямы. Действительно, при невозмущенная волновая функция сводится к постоянной, которую можно условно принять равной единице: . Поскольку то ясно, что волновая функция движения в яме, , нигде не обращается в нуль; собственная же функция, не имеющая узлов, относится к нормальному состоянию, так что Е = 0 остается наименьшим возможным значением энергии частицы. Таким образом, если яма недостаточно глубока, то возможно только инфинитное движение частицы — частица не может «захватиться» ямой. Обратим внимание на то, что этот результат имеет специфически квантовый характер — в классической механике частица может совершать финитное движение в любой потенциальной яме.

Необходимо подчеркнуть, что все сказанное относится только к трехмерной яме. В одно- и двумерной яме (т. е. в которой поле есть функция только от одной или двух координат) всегда имеются уровни отрицательной энергии (см. задачи к этому параграфу). Это связано с тем, что в одно- и двумерном случаях рассматриваемая теория возмущений вообще неприменима при равной нулю (или очень малой) энергии Е.

В случае больших энергий, когда , множитель в подынтегральном выражении играет существенную роль, сильно уменьшая величину интеграла.

Решение (45,3) может быть в этом случае преобразовано к другому виду, для вывода которого, однако, удобнее обратиться непосредственно к уравнению (45,2). Выберем направление невозмущенного движения в качестве оси х; тогда невозмущенная волновая функция имеет вид (постоянный множитель условно полагаем равным единице). Ищем решение уравнения

в виде , причем ввиду предполагаемой большой величины k достаточно сохранить в только те члены, в которых дифференцируется (хотя бы один раз) множитель Тогда мы получим для уравнение

откуда

Оценка этого интеграла дает так что условием применимости теории возмущений в этом случае будет

( — скорость частицы). Обратим внимание на то, что это условие — более слабое, чем (45,4). Поэтому, если можно рассматривать поле как возмущение при малых энергиях частицы, то это во всяком случае возможно и при больших энергиях, между тем как обратное, вообще говоря, не имеет места

Применимость развитой здесь теории возмущений к кулонову полю требует особого рассмотрения. В поле нельзя выделить конечной области пространства, вне которой U было бы значительно меньше, чем внутри нее. Искомое условие можно получить, написав в (45,6) переменное расстояние вместо параметра это приводит к неравенству

Таким образом, при больших энергиях частицы кулоново поле можно рассматривать как возмущение.

Наконец, выведем формулу, приближенно определяющую волновую функцию частицы с энергией Е, везде значительно превышающей потенциальную энергию U (выполнения каких-либо других условий при этом не требуется). В первом приближении зависимость волновой функции от координат такая же, как для свободного движения (направление которого выберем в качестве оси х). Соответственно этому, ищем в виде , где F есть функция координат, меняющаяся медленно по сравнению с множителем (о ней, однако, нельзя, вообще говоря, утверждать, что она близка к единице). Подставляя в уравнение Шредингера, получим для F уравнение

откуда

(45,9)

Это и есть искомое выражение. Следует, однако, иметь в виду, что оно неприменимо на слишком больших расстояниях. В уравнении (45,8) опущен член , содержащий вторые производные от F. Производная вместе с первой производной стремится на больших расстояниях к нулю. Производные же по поперечным координатам у, z к нулю не стремятся, и пренебрежение ими возможно лишь при условии

Задачи

1. Определить уровень энергии в одномерной потенциальной яме малой глубины; предполагается, что условие (45,4) выполнено.

Решение. Делаем предположение, подтверждающееся результатом, что уровень энергии Тогда в правой стороне уравнения Шредингера

можно в области ямы пренебречь , а также считать постоянной, которую без ограничения общности можйо положить равной единице:

Проинтегрируем это равенство по между двумя точками такими, что где а — ширина ямы, а

Ввиду сходимости интеграла от можно распространить интегрирование справа по всей области от до

Вдали от ямы волновая функция имеет вид Подставляя это в найдем

или

Мы видим, в согласии со сделанным предположением, что величина уровня оказывается малой величиной более высокого (второго) порядка, чем глубина ямы.

2. Определить уровень энергии в двумерной потенциальной яме ( — полярная координата в плоскости) малой глубины; предполагается, что интеграл сходится.

Решение, Поступая, как в предыдущей задаче, получим в области ямы уравнение

Интегрируя его по от 0 до (где ), имеем

Вдали от ямы уравнение двумерного свободного движения

имеет решение (обращающееся на бесконечности в нуль) при малых значениях аргумента главный член в этой функции пропорционален Имея это в виду, приравниваем при г — а логарифмические производные от вычисленные в яме (правая сторона ) и вне ее, и получаем

откуда

Мы видим, что уровень энергии оказывается экспоненциально малым по сравнению с глубиной ямы.