§ 37. Движение в кулоновом поле (параболические координаты)

Разделение переменных в уравнении Шредингера, написанном в сферических координатах, всегда возможно для движения в любом центрально-симметричном поле. В случае кулонова поля разделение переменных оказывается возможным также и в так называемых параболических координатах.

Решение задачи о движении в кулоновом поле в параболических координатах полезно при исследовании ряда задач, в которых определенное направление в пространстве является выделенным, например, благодаря наличию внешнего (помимо кулонова) электрического поля (§ 77).

Параболические координаты определяются формулами

или обратно:

(37,2)

пробегают значения от 0 до , от 0 до . Поверхности представляют собой параболоиды вращения с осью вдоль оси и фокусом в начале координат. Эта система координат ортогональна. Элемент длины определяется выражением

а элемент объема:

Из (37,3) следует для оператора Лапласа выражение

Уравнение Шредингера для частицы в кулоновом поле притяжения

приобретает вид

Ищем собственные функции в виде

где — магнитное квантовое число.

Подставляя это выражение в уравнение (37,6), умноженное на и разделяя переменные , получим для и уравнения

где «параметры разделения» связаны друг с другом посредством

Рассмотрим дискретный спектр энергии (). Вводим вместо величины

после чего получаем уравнение для

(37,11)

и такое же уравнение для причем мы ввели также обозначения

(37,12)

Подобно тому как было сделано для уравнения (36,4), находим, что ведет себя при больших как а при малых — как Соответственно этому, ищем решение уравнения (37,11) в виде

(и аналогично для ) и получаем для уравнение

Это — снова уравнение вырожденной гипергеометрической функции. Решение, удовлетворяющее условиям конечности, будет

причем должно быть целым неотрицательным числом.

Таким образом, каждое стационарное состояние дискретного спектра определяется в параболических координатах тремя целыми числамиз «параболическими квантовыми числами» и магнитным квантовым числом . Для числа («главное квантовое число») имеем из (37,9) и (37,12)

(37,13)

Для уровней энергии получается, разумеется, прежний результат (36,9).

При заданном число может принимать различных значений от 0 до При фиксированных и число пробегает значений от 0 до Учитывая также, что при заданном можно еще выбрать функции найдем, что всего для данного имеется

различных состояний в согласии с полученным в § 36 результатом.

Волновые функции дискретного спектра должны быть нормированы условием

(37,14)

Нормированные функции имеют вид

где

(37,16)

Волновые функции в параболических координатах, в противоположность волновым функциям в сферических координатах, не симметричны относительно плоскости При вероятность нахождения частицы на стороне больше, чем на стороне а при — наоборот.

Непрерывному спектру соответствует непрерывный спектр вещественных значений параметров в уравнениях (37,8) (разумеется, по-прежнему связанных соотношением (37,9)); мы не станем выписывать здесь соответствующих волновых функций. Уравнения (37,8), рассматриваемые как уравнения для «собственных значений» величин , обладают (при Е > 0) также и спектром комплексных значений. Соответствующие волновые функции будут выписаны в § 135, где мы воспользуемся ими для решения задачи о рассеянии в кулоновом поле.

Существование стационарных состояний связано с наличием дополнительного закона сохранения (36,29). В этих состояниях имеют определенные значения, наряду с энергией, величины Вычислив диагональные матричные элементы оператора найдем, что

(37,17)

При этом а проекции «моментов»

(37,18)

Эти свойства состояний ) (или, что то же, ) позволяют легко установить связь между их волновыми функциями и волновыми функциями состояний Поскольку то переход от одного из этих способов описания к другому сводится к задаче о составлении волновых функций при сложении двух моментов (рассмотренной ниже, в § 106). В терминах «моментов» и состояния описываются как где, согласно (36,35) и (37,13),

(37,19)

Согласно общим формулам (106,9)-(106,11) имеем

(37,20)

(D. Park, 1960).