§ 44. Соотношение неопределенности для энергии

Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодействующих частей. Предположим, что в некоторый момент времени известно, что эти части обладают определенными значениями энергии, которые мы обозначим соответственно как Пусть через некоторый интервал времени производится снова измерение энергии; оно дает некоторые значения , вообще говоря, отличные от . Легко определить, каков порядок величины наиболее вероятного значения разности , которая будет обнаружена в результате измерения.

Согласно формуле (42,3) (с ) вероятность перехода системы (за время t) под влиянием не зависящего от времени возмущения из состояния с энергией Е в состояние с энергией пропорциональна

Отсюда видно, что наиболее вероятное значение разности порядка величины .

Применив этот результат к рассматриваемому нами случаю (возмущением является взаимодействие между частями системы), мы получим соотношение

Таким образом, чем меньше интервал времени тем большее изменение энергии будет обнаружено. Существенно, что его порядок величины не зависит от величины возмущения. Определяемое соотношением (44,1) изменение энергии будет обнаружено даже при сколь угодно слабом взаимодействии между обеими частями системы. Этот результат является чисто квантовым и имеет глубокий физический смысл. Он показывает, что в квантовой механике закон сохранения энергии может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью до величины порядка , где — интервал времени между измерениями.

О соотношении (44,1) часто говорят, как о соотношении неопределенности для энергии. Необходимо, однако, подчеркнуть, что его смысл существенно отличается от смысла соотношения неопределенности для координаты и импульса. В последнем — неопределенности в значениях импульса и координаты в один и тот же момент; оно показывает» что эти две величины вообще не могут иметь одновременно строго определенных значений. Энергии же , напротив, могут быть измерены в каждый данный момент времени с любой точностью. Величина в (44,1) есть разность двух точно измеренных значений энергии с в два различных момента времени, а отнюдь не неопределенность в значении энергии в определенный момент времени.

Если рассматривать Е как энергию некоторой системы, а е — как энергию «измерительного прибора», то мы можем сказать, что энергия взаимодействия между ними может быть учтена лишь с точностью до

Обозначим посредством погрешности в измерениях соответствующих величин. В благоприятном случае, когда известны точно , имеем

Из этого соотношения можно вывести важные следствия относительно измерения импульса. Процесс измерения импульса частицы (будем говорить для определенности об электроне) включает в себя столкновение электрона с некоторой другой («измерительной») частицей, импульсы которой до и после столкновения могут считаться известными точнох). Если применить к этому столкновению закон сохранения импульса, то мы получим три уравнения (три компоненты одного векторного уравнения) с шестью неизвестными — компонентами импульса электрона до и после столкновения. Для увеличения числа уравнений можно произвести ряд последовательных столкновений электрона с «измерительными» частицами и применить закон сохранения импульса к каждому из них. При этом, однако, увеличивается и число неизвестных (импульсы электрона между столкновениями), и легко сообразить, что при любом числе столкновений число неизвестных будет превышать на три число уравнений. Поэтому для измерения импульса электрона необходимо привлечь, наряду с законом сохранения импульса, также и закон сохранения энергии в каждом столкновении. Последний, однако, может быть применен, как мы видели, лишь с точностью до величины порядка , где — время между началом и концом рассматриваемого процесса.

Для упрощения дальнейших рассуждений удобно рассмотреть идеализированный мысленный эксперимент, в котором «измерительной частицей» является идеально отражающее плоское зеркало; тогда играет роль лишь одна компонента импульса, перпендикулярная к плоскости зеркала. Для определения импульса Р частицы законы сохранения импульса и энергии дают уравнения

(Р, Е — импульс и энергия частицы, — то же для зеркала; величины без и со штрихами относятся соответственно к моментам до и после столкновения). Величины , относящиеся к «измерительной частице», могут рассматриваться как известные точно, т. е. их погрешности равны нулю.

Тогда для погрешностей в остальных величинах имеем из написанных уравнений

Но

где v — скорость электрона (до столкновения), и аналогично

Поэтому получаем

Мы приписали здесь индексы х у скоростей и импульса, с целью подчеркнуть, что это соотношение относится к каждой из их компонент в отдельности.

Это и есть искомое соотношение. Оно показывает, что измерение импульса электрона (при заданной степени точности ) неизбежно связано с изменением его скорости (т. е. и самого импульса). Это изменение тем больше, чем короче длится самый процесс измерения. Изменение скорости может быть сделано сколь угодно малым лишь при но измерения импульса, длящиеся в течение большого времени, вообще могут иметь смысл лишь для свободной частицы. Здесь в особенности ярко проявляется неповторимость измерения импульса через короткие промежутки времени и «двуликая» природа измерения в квантовой механике — необходимость различать между измеряемым значением величины и значением, создаваемым в результате процесса измерения

К приведенному в начале этого параграфа выводу, основанному на теории возмущений, можно подойти с другой точки зрения, применив его к распаду системы, происходящему под влиянием какого-либо возмущения. Пусть есть некоторый уровень энергии системы, вычисленный при полном пренебрежении возможностью ее распада. Посредством обозначим продолжительность жизни этого состояния системы, т. е. величину, обратную вероятности распада в единицу времени. Тогда тем же способом найдем, что

где — энергии обеих частей, на которые распалась система. Но по сумме можно судить об энергии системы до распада.

Поэтому полученное соотношение показывает, что энергия способной к распаду системы в некотором квазистационарном состоянии может быть определена лишь с точностью до величины порядка . Эту величину обычно называют шириной Г уровня. Таким образом