§ 7. Волновая функция и измерения

Вернемся снова к процессу измерения, свойства которого были качественно рассмотрены в § 1, и покажем, каким образом эти свойства связаны с математическим аппаратом квантовой механики.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частей — классического прибора и электрона (рассматриваемого как квантовый объект). Процесс измерения заключается в том, что эти две части приходят во взаимодействие друг с другом, в результате чего прибор переходит из начального в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния мы судим о состоянии электрона. Состояния прибора различаются значениями некоторой характеризующей его физической величины (или величин) - «показаниями прибора». Обозначим условно эту величину посредством g, а ее собственные значения — как ; последние пробегают, соответственно классичности прибора, вообще говоря, непрерывный ряд значений, но мы будем — исключительно в целях упрощения написания нижеследующих формул — считать спектр дискретным. Описание состояний прибора осуществляется квазиклассическими волновыми функциями, которые будем обозначать посредством (?), где индекс отвечает «показанию» прибора, а обозначает условно совокупность его координат.

Классичность прибора проявляется в том, что в каждый данный момент времени можно с достоверностью утверждать, что он находится в одном из известных состояний с каким-либо определенным значением величины g; для квантовой системы такое утверждение было бы, разумеется, несправедливым.

Пусть есть волновая функция начального (до измерения) состояния прибора, a — некоторая произвольная нормированная начальная волновая функция электрона (q обозначает его координаты). Эти функции описывают состояние прибора и электрона независимым образом, и потому начальная волновая функция всей системы есть произведение

Далее, прибор и электрон приходят во взаимодействие друг с другом. Применяя уравнения квантовой механики, можно, принципиально, проследить за изменением волновой функции системы со временем. После процесса измерения она, разумеется, уже не будет произведением функций от и q. Разлагая ее по собственным функциям прибора (образующим полную систему функций), мы получим сумму вида

где — некоторые функции от q.

Теперь выступает на сцену «классичность» прибора и двойственная роль классической механики как предельного случая и в то же время основания квантовой механики. Как уже указывалось, благодаря классичности прибора в каждый момент времени величина g («показание прибора») имеет некоторое определенное значение. Это позволяет утверждать, что состояние системы прибор + электрон после измерения будет в действительности описываться не всей суммой (7,2), а лишь одним членом, соответствующим «показанию» прибора:

Отсюда следует, что пропорциональна волновой функции электрона после измерения. Это не есть еще сама волновая функция, что видно уже из того, что функция не нормирована. Она включает в себя как сведения о свойствах возникшего состояния электрона, так и определяемую начальным состоянием системы вероятность появления «показания» прибора.

В силу линейности уравнений квантовой механики связь между и начальной волновой функцией электрона выражается, вообще говоря, некоторым линейным интегральным оператором

с ядром которое характеризует данный процесс измерения.

Мы предполагаем, что рассматриваемое измерение таково, что в результате него возникает полное описание состояния электрона. Другими словами (см. § 1), в возникшем состоянии вероятности для всех величин должны быть независимыми от предыдущего (до измерения) состояния электрона. Математически это означает, что вид функций должен определяться самим процессом измерения и не должен зависеть от начальной волновой функции электрона.

Таким образом, должны иметь вид

где — определенные функции, которые будем предполагать нормированными, а от начального состояния зависят только постоянные . В интегральной связи (7,4) этому соответствует ядро , разбивающееся на произведение функций только от q и от

Тогда линейная связь постоянных с функцией дается формулами вида

где — некоторые определенные функции, зависящие от процесса измерения.

Функции — нормированные волновые функции электрона после измерения. Таким образом, мы видим, как математический формализм теории отражает возможность получить путем измерения состояние электрона, описанное определенной волновой функцией.

Если измерение производится над электроном с заданной волновой функцией , то постоянные имеют простой физический смысл — в соответствии с общими правилами есть вероятность того, что измерение даст результат. Сумма вероятностей всех результатов есть единица:

Справедливость формул (7,7) и (7,8) при произвольной (нормированной) функции эквивалентна (ср. § 3) утверждению, что произвольная функция может быть разложена по функциям

Это значит, что функции образуют полный набор нормированных и взаимно ортогональных функций.

Если начальная волновая функция электрона совпадает с одной из функций (q), то, очевидно, соответствующая постоянная равна единице, а все остальные — нулю. Другими словами, произведенное над электроном в состоянии измерение даст с достоверностью определенный результат.

Все эти свойства функций показывают, что они являются собственными функциями некоторой характеризующей электрон физической величины (обозначим ее f), а о рассматриваемом измерении можно говорить, как об измерении этой величины.

Очень существенно, что функции вообще говоря, не совпадают с функциями (последние, вообще говоря, даже не взаимно ортогональны и не являются системой собственных функций какого-либо оператора). Это обстоятельство прежде всего выражает невоспроизводимость результатов измерений в квантовой механике. Если электрон находился в состоянии то произведенное над ним измерение величины обнаружит с достоверностью значение Но после измерения электрон окажется в состоянии отличном от исходного, в котором величина уже вообще не имеет какого-либо определенного значения. Поэтому, произведя над электроном непосредственно вслед за первым повторное измерение, мы получили бы для значение, не совпадающее с обнаруженным в результате первого измерения Для предсказания (в смысле вычисления вероятности) результата повторного измерения при известном результате первого измерения надо от первого измерения взять волновую функцию созданного им состояния, а от второго — волновую функцию того состояния, вероятность которого нас интересует. Это означает следующее. Из уравнений квантовой механики определяем волновую функцию которая в момент времени первого измерения равна Вероятность результата второго измерения, произведенного в момент времени t, дается квадратом модуля интеграла .

Мы видим, что процесс измерения в квантовой механике имеет «двуликий» характер — его роли по отношению к прошлому и будущему не совпадают.

По отношению к прошлому оно «верифицирует» вероятности различных возможных результатов, предсказываемые по состоянию, созданному предыдущим измерением. По отношению же к будущему оно создает новое состояние (см. также § 44). В самой природе процесса измерения заложена, таким образом, глубокая необратимость.

Эта необратимость имеет важное принципиальное значение. Как мы увидим в дальнейшем (см. конец § 18), основные уравнения квантовой механики сами по себе обладают симметрией по отношению к изменению знака времени; в этом отношении квантовая механика не отличается от классической. Необратимость же процесса измерения вносит в квантовые явления физическую неэквивалентность обоих направлений времени, т. е. приводит к появлению различия между будущим и прошедшим.