§ 109. Матричные элементы при сложении моментов
Рассмотрим снова систему, состоящую из двух частей (о которых будем говорить как о подсистемах 1 и 2), и пусть 
— сферический тензор, характеризующий первую из них. Его матричные элементы по отношению к волновым функциям этой же подсистемы определяются, согласно (107,6), формулой
(109,1)
Возникает вопрос о вычислении матричных элементов этих же величин по отношению к волновым функциям системы в целом; покажем, как они могут быть выражены через те же приведенные матричные элементы, которые фигурируют в выражениях (109,1).
Состояния системы в целом определяются квантовыми числами 
— величина и проекция момента всей системы). Поскольку 
относится к подсистеме 1, ее оператор коммутирует с оператором момента подсистемы 2. Поэтому ее матрица диагональна по 
она диагональна также и по остальным квантовым числам 
этой подсистемы. Эти индексы 
мы будем для краткости опускать и будем писать искомые матричные элементы в виде
Согласно (107,6) их зависимость от числа М определяется формулой
(109,2)
Для установления связи между приведенными матричными элементами в правых сторонах (109,1) и (109,2) пишем, по определению матричных элементов:
Подставив сюда (109,1), (109,2) и сравнив полученное соотношение с формулой (108,4), мы увидим, что отношение приведенных матричных элементов (в (109,1), (109,2)) должно быть пропорционально определенному 
-символу.
Тщательное сравнение обоих указанных соотношений приводит к следующей окончательной формуле:
(здесь 
— большее из 
меньшее из 
). Аналогичная формула для приведенных матричных элементов сферического тензора, относящегося к второй подсистеме:
(109,4)
Отсутствие полной симметрии между выражениями (109,3) и (109,4) (в показателе степени 
связано с зависимостью фазы волновых функций от порядка сложения моментов. Эту разницу надо иметь в виду, если приходится вычислять матричные элементы одновременно для обеих подсистем.
Далее, найдем полезную формулу для матричных элементов по отношению к волновым функциям всей системы от скалярного произведения (см. определение (107,4)) двух сферических тензоров одинакового ранга k, относящихся к различным подсистемам (и потому коммутирующих друг с другом). Согласно (107,10) эти матричные элементы выражаются через приведенные матричные элементы каждого из тензоров (по отношению к волновым функциям системы в целом) следующим образом:
(здесь использовано, что матрица величины, относящейся к одной из подсистем, диагональна по квантовым числам другой подсистемы). Подставив сюда (109,3), (109,4) и воспользовавшись формулой суммирования (108,8), получим искомую формулу, выражающую матричные элементы скалярного произведения через приведенные матричные элементы каждого из тензоров по отношению к волновым функциям соответствующих подсистем:
(109,5)
