§ 131. Рассеяние при больших энергиях

Если потенциальная энергия не мала по сравнению с (где а, как обычно, радиус действия поля), то возможна ситуация, когда энергия рассеиваемых частиц настолько велика, что

но в то же время еще

(131,2)

при этом подразумевается, разумеется, что

(131,3)

В таком случае мы имеем дело с рассеянием быстрых частиц, к которому, однако, неприменимо борновское приближение (не выполняется ни одно из условий

Для исследования этого случая можно воспользоваться выражением волновой функции в виде (45,9)

(131,4)

для применимости которого энергия должна удовлетворять только условию .

В § 45 было отмечено, что это выражение справедливо лишь при - поэтому оно не может быть непосредственно продолжено до таких расстояний, где уже справедливо асимптотическое выражение (123,3). В этом, однако, нет необходимости: для вычисления амплитуды рассеяния достаточно знать волновую функцию на расстояниях таких, что при этом интеграл в показателе в может быть распространен до

где введево обозначение

(131,6)

( — радиус-вектор в плоскости ху).

Рассеяние быстрых частиц происходит в основном на малые углы, которые мы и будем рассматривать. При этом изменение импульса относительно мало , и потому вектор q можно считать перпендикулярным к волновому вектору падающей частицы k, т. е. лежащим в плоскости Рассеянная волна получается вычитанием из (131,5) падающей волны (функция (131,4) при . Амплитуда же рассеяния с волновым вектором пропорциональна соответствующей компоненте Фурье рассеянной волны

(). Коэффициент пропорциональности в этом выражении можно получить затем сравнением с предельным случаем борновского приближения (см. ниже).

Можно провести вычисление также и другим способом, который сразу приводит к вполне определенному выражению. Для этого воспользуемся формулой (129,2), подставив в из (131,4). Заметив при этом, что, согласно (45,8),

получим для амплитуды рассеяния (коэффициент при )

Подставив выражение для F, окончательно получим

(131-7)

Если энергия настолько велика, что то применимо борновское приближение. Действительно, разложив , получим из (131,7) в согласии с (126,4)

Воспользовавшись оптической теоремой (125,9), можно получить из (131,7) полное сечение рассеяния. Амплитуда рассеяния на нулевой угол есть значение при Поэтому находим

(131,8)

Выражение под знаком интеграла можно рассматривать как сечение рассеяния для частиц с прицельным расстоянием в интервале

Формула (131,7) не предполагает центральной симметрии поля. Поучительно увидеть, каким образом для центрально-симметричного поля эта формула может быть получена непосредственно из точной общей формулы (123,11).

В условиях (131,1) -(131,3) основную роль в рассеянии играют парциальные амплитуды с большими моментами I. Поэтому для волновых функций выполняется условие квазиклассичности, что позволяет воспользоваться для формулой (124,1). Положив в ней получим

что совпадает со значением функции (131,6) при Далее, в области малых углов полиномы Лежандра с большими I могут быть представлены в виде (49,6)

Подставив это выражение в формулу (123,11) и перейдя в ней от суммирования (по большим I) к интегрированию, получим

где q и — двумерные векторы с абсолютными величинами Наконец, подставив сюда в виде (123,15) с мы вернемся к формуле (131,7).

Отметим также, что для рассеяния в центрально-симметричном поле формула (131,7), после проведения в ней интегрирования по полярному углу в плоскости принимает вид

(131,10)

В § 126 уже было указано, что борновское приближение неприменимо при рассеянии быстрых частиц на большие углы, если сечение при этом оказывается экспоненциально малым. Непригодна в этих условиях также и изложенная здесь методика. В действительности мы имеем в таких случаях дело с квазиклассической ситуацией, к которой теория возмущений неприменима.

В соответствии с общими правилами квазиклассического приближения (ср § 52, 53) показатель степени в экспоненциальном законе убывания сечений рассеяния можно определить путем рассмотрения «комплексных траекторий» в классически недоступной области движения

В классической задаче о рассеянии зависимость между углом 0 отклонения частицы в поле и прицельным параметром определяется формулой

(131,11)

где — минимальное расстояние от центра, являющееся корнем уравнения

(131,12)

(см. (127,5)). Интересующий нас случай соответствует области углов, на которые классическая частица не могла бы отклониться. Этим углам отвечают поэтому комплексные решения уравнения (131,11) (с соответственно комплексными значениями ).

По найденной таким образом функции и классическому орбитальному моменту частицы вычисляется действие

(131,13)

(где v — скорость частицы на бесконечности). Амплитуда же рассеяния

(131,14)

Уравнение (131,12) имеет, вообще говоря, более чем один комплексный корень. В качестве в (131,11) должен быть взят тот из них, который приводит к наименьшей по величине положительной мнимой части Кроме того, если функция обладает комплексными особыми точками, то они тоже должны входить в число конкурирующих значений

Основную роль в интеграле (131,11) играет область При этом в случае больших энергий Е член под знаком корня может быть опущен; произведя интегрирование, получим тогда

(131,15)

Если есть особая точка функции , она зависит лишь от свойств поля, но не от или Е. Вычисляя S согласно (131,13), найдем в этом случае, что амплитуда рассеяния

(131,16)

Если же в качестве приходится взять корень уравнения (131,12), то вид экспоненты зависит от конкретных свойств поля. Так, для функции

(не имеющей вовсе особых точек на конечных расстояниях) из уравнения

имеем

(131,17)

Ввиду слабости зависимости от можно считать постоянным при интегрировании в (131,13) и для амплитуды рассеяния мы получим формулу (131,16) с из (131,17).

Задачи

1. Определить полное сечение рассеяния сферической прямоугольной потенциальной ямой радиуса а и глубины при условии (131,1):

Решение. Имеем

Согласно (131,7) амплитуда рассеяния вперед а

где — «борновский параметр». С помощью оптической теоремы (125,9) находим отсюда полное сечение

В предельном (борновском) случае это выражение дает в согласии с задачей 1 § 126. В обратном предельном случае имеем просто т. е. удвоенное геометрическое сечение. Этот последний результат имеет простой смысл. При все частицы с прицельным расстоянием рассеиваются, т. е. выбывают из падающего пучка. В этом смысле яма ведет себя как «поглощающий» шар; при этом, согласно принципу Бабине (см. II, конец § 61), полное сечение равно удвоенному сечению «поглощения».

2. То же в поле

Решение. В этом случае имеем

Подставив в (131,7) и произведя в интеграле очевидную замену переменной, получим для амплитуды рассеяния на нулевой угол

где снова Отсюда полное сечение

При подынтегральное выражение сводится к и сечение в согласии с результатом задачи 2 § 126 (при При пишем подынтегральное выражение в виде с малым параметром , устремляемым затем к нулю. Интегрированием по частям находим тогда

(С — постоянная Эйлера).

Таким образом,

3. Определить сечение рассеяния на малые углы электронов в магнитном поле, сконцентрированном в цилиндрической области радиуса а (Y. Aharonov, D. Bohm, 1959).

Решение. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси у, совпадающей с осью цилиндрической области, а направление падения электронов выберем в качестве оси . Тогда вся картина рассеяния не зависит от координаты у, и ниже рассматривается двумерная задача в плоскости

Вне цилиндрической области напряженность но векторный потенциал, отличен от нуля и равен

где — полярный угол в плоскости а Ф — поток магнитного поля; действительно, интегрируя по площади круга (радиуса в этой плоскости, имеем

Потенциал (1) меняет фазу волновой функции (плоской волны) электронов; согласно (111,9) имеем

Это выражение, однако, неприменимо в узкой области вдоль полуоси поскольку движение частиц, прошедших через область поля, возмущено им. Этим объясняется кажущаяся неоднозначность функции (2) при обходе начала координат (угол получает приращение ). В действительности вблизи полуоси имеется разрыв (конечной ширины), связанный с неприменимостью (2); по обе стороны разрыва имеет значения, отличающиеся на например

Для рассеяния на малыеуглы 0 с малой передачей импульса существенны поперечные расстояния и шириной разреза можно пренебречь. Рассматривая область пространства можно также пренебречь в ней зависимостью от по обе стороны от оси ; имеем тогда

«Двумерная» амплитуда рассеяния вычисляется по формуле (131,7,а). При имеем

Интеграл вычисляется путем введения в него множителя с последующим переходом к пределу . В результате находим

Отсюда сечение рассеяния

При отсюда получается выражение

отвечающее случаю применимости теории возмущений.

Обратим внимание на периодическую зависимость сечения (4) от напряженности магнитного поля, а также на расходимость полного сечения (за счет хотя поле сосредоточено в конечной области пространства; то и другое специфически квантовые эффекты.