§ 152. Неупругое рассеяние при больших энергиях

Эйкональное приближение, использованное в § 131 для задачи о взаимном рассеянии двух частиц, может быть обобщено таким образом, чтобы охватить собой также и процессы (в том числе неупругие) при столкновениях быстрой частицы с системой частиц — «мишенью» (R. J. Glauber, 1958).

В этом обобщении основные предположения остаются прежними. Энергия падающей частицы Е предполагается настолько большой, что , где U — энергия ее взаимодействия с частицами мишени, а а — радиус этого взаимодействия. Рассматривается рассеяние с относительно малой передачей импульса: изменение импульса падающей частицы мало по сравнению с ее первоначальным импульсом . Это условие подразумевает теперь, однако, не только малость угла рассеяния, но и относительную малссть передаваемой энергии.

Кроме того, будем считать, что скорость падающей частицы v велика по сравнению со скоростями частиц внутри мишени:

(152,1)

Для рассеяния заряженных частиц на атомах это условие равносильно применимости борновского приближения (ср. § 148, 150): из автоматически следует <С 1; необходимости в развиваемой здесь теории в этом случае, следовательно, вообще не возникает. Иная ситуация, однако, имеет место для ядерных мишеней, в которых частицы связаны не кулоновыми, а ядерными силами. Ниже мы будем, для определенности, говорить о рассеянии быстрой частицы на ядре.

Условие (152,1) позволяет рассматривать движение падающей частицы при заданных положениях нуклонов в ядре. Другими словами, волновая функция системы частица мишень может быть представлена в виде

(152,2)

Здесь — волновая функция некоторого внутреннего состояния ядра — радиусы-векторы нуклонов в нем). Множитель же — волновая функция рассеиваемой частицы ( — ее радиус-вектор) при заданных значениях играющих роль параметров в уравнении Шредингера

где — энергия взаимодействия частицы с нуклоном, — ее импульс на бесконечности.

Если мы найдем решение уравнения (152,3) с асимптотической формой

(152,4)

то волновая функция (152,2)

(152,5)

будет описывать рассеяние на ядре, находящемся (до столкновения) в своем состоянии: падающая волна входит в (152,5) в произведении с Второй член в (152,5) представляет рассеянную волну. Однако это выражение пригодно для определения амплитуды рассеяния лишь при условии достаточно малого изменения энергии падающей частицы, т. е. малого изменения внутренней энергии ядра; рассматривая движение частицы в постоянном поле «неподвижно закрепленных» нуклонов (чему соответствует уравнение (152,3)), мы тем самым пренебрегаем возможным изменением энергии этого движения.

Для выделения амплитуды рассеяния с определенным изменением внутреннего состояния ядра надо представить в виде

(152,6)

где суммирование производится по различным состоянигм ядра; и даст тогда искомую амплитуду рассеяния с заданным переходом ядра как функцию от угла рассеяния (угол между ). Сравнив (152,6) с (152,5), найдем, что

(152,7)

где — элемент конфигурационного пространства ядра. Снова подчеркнем, что эта формула применима лишь при сравнительно малой разности энергий состояний i и

Само решение (152,4) уравнения (152,3) находится описанным в § 131 способом. Аналогично формуле (131,7) имеем

(152,8)

где введены обозначения

(152,9)

Напомним, что — проекция радиуса-вектора на плоскость перпендикулярную к — такая же проекция радиуса-вектора — изменение импульса рассеиваемой частицы, причем в (152,8) входят лишь поперечные его компоненты. Функции определяют амплитуды упругого рассеяния частицы на отдельных свободных нуклонах согласно

(152,10)

При находим из (152,7), (152,8) амплитуду упругого рассеяния на ядре:

(152,11)

где черта означает усреднение по внутреннему состоянию ядра:

Эта формула обобщает прежнюю формулу (131,7).

Положив в (152,11) и воспользовавшись оптической теоремой (142,10), получим полное сечение рассеяния

(152,13)

Интегральное сечение упругого рассеяния получается интегрированием направлениям п. При малых углах рассеяния имеем и элемент телесных углов Поэтому

Представив с из (152,11) в виде двойного интеграла (по ), интегрируем по с помощью формулы

после чего -функция устраняется интегрированием по . В результате находим

(152,14)

Наконец, полное сечение реакций

(152,15)

Обратим внимание на соответствие выражений (152,13)- (152,15) с общими формулами (142,3)-(142,5). Переходя в последних от суммирования (по большим I) к интегрированию по и заменив на функцию , мы получим (152,13)-(152,15).

Задачи

1. Выразить амплитуду упругого рассеяния быстрой частицы на дейтроне через амплитуды рассеяния на протоне и нейтроне (R. J. Glauber, 1955).

Решение. Согласно (152,11) амплитуда упругого рассеяния на дейтроне

Здесь — волновая функция относительного движения нейтрона и протона в дейтроне; — проекция R на плоскость, перпендикулярную к волновому вектору падающей частицы к. Представим разность в фигурных скобках в (1) в виде

После этого интегралы преобразуются с учетом определения амплитуд рассеяния на нейтроне и протоне согласно (152,10) и обратных формул

В результате находим

где

— формфактор дейтрона.

Положивв (причем и воспользовавшись оптической теоремой (142,10), найдем полное сечение рассеяния на дейтроне;

2. Определить сечение распада быстрого дейтрона на независимые нейтрон и протон при рассеянии на тяжелом поглощающем ядре; радиус ядра велик по сравнению с длиной волны дейтрона ( — импульс дейтрона) и по сравнению с радиусом дейтрона (Е. Л. Фейнберг, 1954; R. J. Glauber, 1955; А, И. Ахиезер и А, Г. Ситенко, 1955),

Решение. По отношению к падающей дейтронной плоской волне большое поглощающее ядро играет роль непрозрачного экрана, на котором волна дифрагирует. Волновая функция падающих дейтронов: где — внутренняя волновая функция дейтрона радиус-вектор между нейтроном и протоном в дейтроне, — радиус-вектор их центра инерции). Наличие поглощающего ядра приводит к «выедании» части этой функции, отвечающей поперечным координатам нейтрона и протона попадающим в область «тени» ядра, т. е. внутрь круга радиуса Другими словами, волновая функция становится равной

где при если хотя бы одно из или меньше Эта функция (без множителя ) отвечает выражению падающей волны в виде (131,5) (в ней пренебрежено дифракционным искривлением лучей); поэтому и множитель S имеет тот же смысл, что и в § 131, 152.

Аналогично (152,13), (152,14) полное сечение рассеяния дейтрона (включающее все неупругие процессы) и сечение упругого рассеяния даются формулами

где и учтена вещественность S; усреднение S производится по основному состоянию дейтрона;

В качестве достаточно взять функцию

справедливую на расстояниях R вне радиуса действия ядерных сил, действующих между нейтроном и протоном (ср. (133,14); , где -энергия связи дейтрона; — масса нуклона). По определению S, разность отлична нуля, если один или оба из двух нуклонов попадают внутрь круга радиуса R и поглощаются ядром; поэтому

есть сечение захвата одного или обоих нуклонов. С другой стороны, . где — интересующее нас сечение «дифракционного» распада дейтрона. Отсюда

При в интеграле (2) существенны малые расстояния от края ядра; тогда интегрирование вдоль края дает множитель а интегрирование в перпендикулярном направлении можно производить так, как если бы область тени была ограничена прямой линией. Выбрав последнюю в качестве оси у (а ось х — в направлении наружу от тени), имеем

причем интеграл

берется по области при заданном значении или, что то же, по области Интеграл преобразуется переходом к переменным X, R и полярному углу в плоскости YZ (причем ) и приводится к виду

Интеграл (2) с этой функцией вычисляется путем повторных интегрирований по частям с использованием формулы

В результате получается