§ 40. Возмущения, зависящие от времени

Перейдем к изучению возмущений, зависящих явно от времени. Говорить о поправках к собственным значениям энергии в этом случае вообще нельзя, поскольку при зависящем от времени гамильтониане (каковым будет возмущенный оператор энергия вообще не сохраняется, так что стационарных состояний не существует. Задача заключается здесь в приближенном вычислении волновых функций по волновым функциям стационарных состояний невозмущенной системы.

Для этой цели мы применим метод, соответствующий известному методу вариации постоянных для решения линейных дифференциальных уравнений (Р. А. М. Dirac, 1926). Пусть — волновые функции (включающие временной множитель) стационарных состояний невозмущенной системы. Тогда произвольное решение невозмущенного волнового уравнения может быть написано в виде суммы . Будем теперь искать решение возмущенного уравнения

в виде суммы

где коэффициенты разложения являются функциями времени. Подставив (40,2) в (40,1) и помня, что функции удовлетворяют уравнению

получим

Умножив обе стороны равенства слева на и интегрируя, получим

где

— матричные элементы возмущения, включающие временной множитель (надо, впрочем, иметь в виду, что при зависящем явно от времени V величины тоже являются функциями времени).

В качестве невозмущенной волновой функции выберем волновую функцию стационарного состояния, чему соответствуют значения коэффициентов в (40,2): при . Для определения первого приближения ищем в виде причем в правую сторону уравнения (40,3) (уже содержащую малые величины ) подставляем Это дает

Для того чтобы указать, к какой из невозмущенных функций вычисляется поправка, введем второй индекс у коэффициентов написав

Соответственно этому, напишем результат интегрирования уравнения (40,4) в виде

(40,5)

Этим определяются волновые функции первого приближения.

Рассмотрим более подробно важный случай периодического по времени возмущения, имеющего вид

где F и G — операторы, не зависящие от времени. В силу эрмитовости V должно быть

откуда находим , т. е.

Используя это соотношение, имеем

Подставляя в (40,5) и интегрируя, получаем следующее выражение для коэффициентов разложения волновых функций

Эти выражения применимы, если ни один из знаменателей не обращается в нуль т. е. если для всех k (при данном я)

(40,10)

Для ряда применений полезно иметь выражения для матричных элементов произвольной величины определенных с помощью возмущенных волновых функций, В первом приближении:

где

Подставив сюда

с определяющимися формулой (40,9), легко получить искомое выражение

Эта формула применима, если ни один из членов не становится большим, т. е. если все частоты не слишком близки к . При мы возвращаемся к формуле (38,12).

Во всех написанных здесь формулах подразумевается, что имеется только дискретный спектр невозмущенных уровней энергии. Они, однако, непосредственно обобщаются на случай наличия также и непрерывного спектра (причем речь по-прежнему идет о возмущении состояний дискретного спектра), что достигается просто прибавлением к суммам по уровням дискретного спектра соответствующих интегралов по непрерывному спектру.

При этом необходимо, чтобы в формулах (40,9), (40,11) знаменатели были отличны от нуля при пробегании энергией всех значений не только дискретного, но и непрерывного спектров. Если, как это обычно имеет место, непрерывный спектр лежит выше всех уровней дискретного спектра, то, например, условие (40,10) должно быть дополнено условием

(40,12)

где — энергия наиболее низкого уровня непрерывного спектра.

Задача

Определить изменение решений уравнения Шредингера при наличии периодического возмущения (вида (40,6)) с частотой такой, что , где — малая величина.

Решение. Развитый в тексте метод здесь неприменим, так как коэффициент (40,9) становится большим. Исходим снова из точных уравнений (40,3) из (40,8). Очевидно, что наиболее существенный эффект возникает от тех членов в суммах в правой стороне уравнений (40,3), в которых зависимость от времени определяется малой частотой . Опуская все остальные члены, получим систему из двух уравнений

Делаем подстановку

и получаем уравнения

Исключая из них получим

В качестве двух независимых решений этих уравнений можно выбрать

и

где А, В — постоянные (которые должны быть определены из условия нормировки) и введены обозначения

Таким образом, под влиянием возмущения функции перейдут в функции из или

Пусть в начальный момент времени система находилась в состоянии Состояние системы в последующие моменты времени определяется линейной комбинацией двух полученных нами функций, обращающейся при

(3)

Квадрат модуля коэффициента при равен

Он определяет вероятность нахождения системы в момент времени t в состоянии Мы видим, что это есть периодическая функция с частотой меняющаяся в пределах от 0 до .

При (точный резонанс) вероятность (4) обращается в

Она периодически меняется в пределах между 0 и 1; другими словами, система периодически переходит из состояния в состояние