§ 144. Матрица рассеяния при наличии реакций

Рассматривавшееся в § 142, 143 сечение представляло собой суммарное сечение всех возможных неупругих каналов рассеяния. Покажем теперь, каким образом строится общая теория неупругих столкновений, в которой каждый канал может рассматриваться в отдельности.

Пусть в результате столкновения двух частиц возникает снова две те же или другие) частицы. Перенумеруем все возможные (при заданной энергии) каналы реакции и будем отмечать относящиеся к ним величины соответствующими индексами.

Пусть канал i является входным. Волновая функция относительного движения сталкивающихся частиц (в системе центра инерции) в этом канале представляет собой уже неоднократно писавшуюся нами сумму падающей плоской волны и упруго рассеянной расходящейся волны:

(144,1)

Квадрат амплитуды дает сечение упругого рассеяния в канале

(144,2)

В других каналах (индекс f) волновые функции относительного движения частиц представляют собой расходящиеся волны. По причине, которая выяснится ниже, эти волны удобно представить в виде

где -волновой вектор относительного движения продуктов реакции (в канале — его угол с осью 2, а — приведенные массы двух начальных и двух конечных частиц.

Рассеянный поток в телесном угле получается умножением квадрата на а сечение соответствующей реакции — делением этого потока на плотность падающего потока, равную

(144,4)

где импульсы .

В § 125 был введен оператор рассеяния 5, переводящий сходящуюся волну в расходящуюся. При наличии нескольких каналов этот оператор имеет матричные элементы для переходов между различными каналами. «Диагональные» по каналам элементы соответствуют упругому рассеянию, а недиагональные — различным неупругим процессам; все эти элементы остаются еще операторами по другим переменным. Они определяются следующим образом.

Подобно тому как это было сделано в § 125, введем операторы связанные с амплитудами определив их формулой:

(144,5)

Легко видеть, что именно при таком определении мы получим -матрицу, которая должна будет удовлетворять условию унитарности. Действительно, напишем волновую функцию во входном канале в виде совокупности сходящейся и расходящейся волн, как она была представлена в § 125:

(144,6)

(здесь введен, для удобства, лишний множитель по сравнению с выражением (125,3)). Тогда, при принятых нами обозначениях амплитуд, волновая функция в канале напишется в виде

(144.7)

Поток в сходящихся волнах должен быть равен сумме потоков в расходящихся волнах во всех каналах; это требование выражает собой очевидное условие, что сумма вероятностей всех возможных (упругого и неупругих) процессов, которые могут возникнуть при столкновении, должна быть равна единице.

Благодаря введенным в знаменатели сферических волн множителям скорость выпадает из плотностей потоков в них.Поэтому поставленное условие означает просто требование совпадения нормировок сходящейся и совокупности расходящихся волн. Оно выражается, следовательно, по-прежнему условием унитарности оператора рассеяния, понимаемого как матрица, в частности, и по номерам различных каналов. Для операторов это условие выражается равенством

(144,8)

аналогичным (125,7); индекс означает здесь комплексное сопряжение и транспонирование по всем остальным (помимо номера канала) матричным индексам.

-матрица диагональна по отношению к состояниям с определенными значениями величины орбитального момента соответствующие матричные элементы будем отличать индексом . Воздействовав операторами на функцию (125,17), получим амплитуды упругих и неупругих процессов в виде

(144,9)

Соответствующие интегральные сечения

(144,10)

Первая из этих формул совпадает с (142,3). Полное же сечение реакций (из входного канала ) есть сумма по всем . В силу унитарности -матрицы имеем и мы возвращаемся к формуле (142,4) для

Симметрия процесса рассеяния по отношению к обращению времени (теорема взаимности) выражается равенством

(144,11)

или, что то же:

(144,12)

Здесь и обозначают состояния, отличающиеся от состояний изменением знаков импульсов и проекций спинов частиц о них говорят как об обращенных по времени по отношению к состояниям и . Соотношения (144,11), (144,12) обобщают формулы (125,11), (125,12), относящиеся к упругому рассеянию.

Равенство (144,12) приводит к следующему соотношению для сечений реакции:

(144,13)

Оно выражает собой принцип детального равновесия.

Как было указано в § 126, в случае применимости теории возмущений в первом ее приближении, наряду с теоремой взаимности, имеет место также и дополнительное соотношение между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова) процессов: . Это свойство, выражающееся равенством имеет место (в том же приближении) и для неупругих процессов. Соответствующие сечения связаны равенством

(144,14)

Разница между переходами и исчезает, если рассматривать интегральные сечения, проинтегрированные по всем направлениям просуммированные по направлениям спинов конечных частиц и усредненные по направлениям импульса ; и спинов начальных частиц. Обозначим такое сечение через

сумма берется по проекциям спинов всех частиц; множитель же перед знаком сумм и интегралов связан с тем, что по величинам, относящимся к начальным частицам, производится не суммирование, а усреднение. Написав (144,13) в виде

и произведя указанные действия, получим искомое соотношение

(144,15)

Через здесь обозначены величины

(144,16)

определяющие числа возможных ориентаций спинов пары начальных и пары конечных частиц; эти числа называют статистическими весами состояний i и

Наконец, отметим следующее свойство амплитуд Мы видели в предыдущем параграфе, что сечение реакции меняется при по закону (при достаточно быстром убывании взаимодействия на больших расстояниях). Согласно формуле (144,4) это означает, что при . В силу симметрии (144,12) отсюда следует, что стремится к постоянному пределу также и при . Мы еще вернемся к этому свойству в § 147.