§ 133. Резонансное рассеяние при малых энергиях

Особого рассмотрения требует рассеяние медленных <С 1) частиц в поле притяжения в случае, когда в дискретном спектре отрицательных уровней энергии имеется -состояние с энергией, малой по сравнению с величиной поля U в пределах радиуса а его действия; обозначим этот уровень посредством (е < 0). Энергия Е рассеиваемой частицы, будучи малой величиной, близка к уровню , т. е. находится, как говорят, почти в резонансе с ним. Это приводит, как мы увидим, к значительному увеличению сечения рассеяния.

Наличие неглубокого уровня можно учесть в теории рассеяния формальным методом, основанным на следующих замечаниях.

В точном уравнении Шредингера для функции (при )

во «внутренней» области поля можно пренебречь Е по сравнению с

(133,1)

Во «внешней» же области , напротив, можно пренебречь U:

(133,2)

Решение уравнения (133,2) должно было бы быть «сшито» при некотором (таком, что ) с решением уравнения (133,1), удовлетворяющим граничному условию условие сшивания заключается в непрерывности отношения не зависящего от общего нормировочного множителя волновой функции.

Однако вместо того, чтобы рассматривать движение в области , мы наложим на решение во внешней области должным образом подобранное граничное условие для при малых ; поскольку внешнее решение медленно меняется при можно формально отнести это условие к точке Уравнение (133,1) в области не содержит поэтому заменяющее его граничное условие тоже не должно зависеть от энергии частицы. Другими словами, оно должно иметь вид

(133,3)

где — некоторая постоянная. Но раз к не зависит от Е, то это же условие (133,3) должно относиться и к решению уравнения Шредингера для малой отрицательной энергии т. е. к волновой функции соответствующего стационарного состояния частицы. При имеем из (133,2)

(133,4)

— постоянная), и подстановка этой функции в (133,3) показывает, что и есть положительная величина, райная

(133,5)

Применим теперь граничное условие (133,3) к волновой функции свободного движения

представляющей собой точное общее решение уравнения (133,2) при Е > 0. В результате получим для искомой фазы 60

(133,6)

Поскольку энергия Е ограничена здесь лишь условием <С 1, но не должна быть малой по сравнению с то фаза 60, а с нею и амплитуда -рассеяния могут оказаться не малыми величинами.

Фазы же , а с ними и соответствующие парциальные амплитуды остаются по-прежнему малыми. Поэтому полную амплитуду можно по-прежнему считать совпадающей с амплитудой -рассеяния

Подставив сюда (133,6), получим

и для полного сечения рассеяния

(133,8)

Таким образом, рассеяние по-прежнему изотропно, но его сечение зависит от энергии, и в области резонанса оказывается большим по сравнению с квадратом радиуса действия поля (поскольку Подчеркнем, что вид формулы (133,8) не зависит от деталей взаимодействия частиц на малых расстояниях между ними и всецело определяется значением резонансного уровня.

Полученная формула имеет несколько более общий характер, чем сделанное при ее выводе предположение. Подвергнем функцию небольшому изменению; при этом изменится и значение постоянной и в граничном условии (133,3). Соответствующим изменением можно добиться обращения и в нуль, а затем сделать малой отрицательной величиной. При этом мы получим ту же формулу (133,7) для амплитуды рассеяния и ту же формулу (133,8) для сечения. В последней, однако, величина является теперь просто характерной для поля постоянной, но отнюдь не уровнем энергии в этом поле. В таких случаях говорят, что в поле имеется виртуальный уровень, имея в виду, что хотя в действительности никакого близкого к нулю уровня нет, но уже небольшого изменения поля было бы достаточно для того, чтобы такой уровень появился.

При аналитическом продолжении функции (133,7) в плоскости комплексного Е на левой вещественной полуоси переходит в (см. § 128), и мы видим, что амплитуда рассеяния имеет полюс при в соответствии с общими результатами § 128. Напротив, виртуальному уровню, как и следовало, не соответствует на физическом листе никакой особенности в амплитуде рассеяния (полюс же амплитуда рассеяния имеет на нефизическом листе — см. примечание на стр. 611).

С формальной точки зрения формула (133,7) соответствует случаю, когда в выражении (125,15)

первый член разложения функции отрицателен и аномально мал. Для уточнения формулы можно учесть еще и следующий член разложения, написав

(Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинский, 1944); напомним, что при достаточно быстром убывании поля функции разлагаются по четным степеням k — см. § 132.

Мы обозначили здесь посредством величину имея в виду сохранить обозначение для величины (133,5), связанной с уровнем энергии е. Согласно сказанному выше определяется как значение обращающее в нуль знаменатель в (133,9), т. е. корень уравнения

(133,10)

Поправочный член в знаменателе в (133,9) мал по сравнению с в силу предполагаемой малости но сам по себе он имеет «нормальный» порядок величины: коэффициент а (этот коэффициент всегда положителен — см. задачу. Следует подчеркнуть, что учет этого члена является еще законным уточнением формулы для амплитуды рассеяния, в которой пренебрежено вкладами от моментов : он дает в поправку относительного порядка между тем как вклад от рассеяния с имеет относительный порядок амплитуда совпадает с введенной в предыдущем параграфе длиной рассеяния а. Коэффициент в формуле

(133,11)

называют эффективным радиусом взаимодействия

Для сечения рассеяния имеем из (133,9)

Если пренебречь в знаменателе членом (хотя он и является законным), то эту формулу можно представить (с учетом ) в виде

Вернемся к выражению (133,4) волновой функции связанного состояния во «внешней» области и свяжем нормировочный коэффициент в ней с введенными выше параметрами.

Определив вычет функции 033,9) в ее полюсе и сравнив с формулой (128,11), найдем

Второй член представляет собой малую поправку к первому, поскольку Без этой поправки , т. е.

что соответствует такой нормировке, как если бы выражение (133,14) было справедливым во всем пространстве.

Остановимся кратко на резонансе в рассеянии с не равными нулю орбитальными моментами.

Разложение функции начинается с члена сохранив два первых члена разложения, напишем парциальную амплитуду рассеяния в виде

(133,15)

где — две постоянные, причем (см. ниже). Резонансному случаю соответствует аномально малое значение коэффициента при т. е. аномально малое е. Однако, ввиду малости Е, член все же может быть и велик по сравнению с

Если то знаменатель выражения (133,15) имеет вещественный корень так что есть дискретный уровень энергии (с моментом I) Однако в противоположность резонансу в -рассеянии амплитуда (133,15) при этом нигде не становится большой по сравнению с а; амплитуда резонансного рассеяния с моментом оказывается лишь того же порядка величины, что и амплитуда нерезонансного рассеяния с моментом I.

Если же то амплитуда (133,15) достигает в области порядка величины т. е. становится большой по сравнению с а. Относительная ширина этой области мала: Таким образом, в этом случае имеет место резко выраженный резонанс. Такая картина резонансного рассеяния связана с тем, что положительный уровень с хотя и не является истинным дискретным уровнем, но представляет собой квазидискретный уровень: благодаря наличию центробежного потенциального барьера вероятность ухода частицы с малой энергией из этого состояния на бесконечность мала, так что «продолжительность жизни» состояния велика (см. § 134).

В этом заключается причина отличия характера резонансного рассеяния при от резонанса в -состоянии, где центробежный барьер отсутствует.

Знаменатель в (133,15) при обращается в нуль при , где

(133,16)

Этот полюс амплитуды рассеяния находится, однако, на «нефизическом» листе. Малая величина Г является шириной квазидискретного уровня (§ 134).

Наконец, укажем интересное свойство фаз , которое легко установить на основании изложенных выше результатов.

Будем рассматривать фазы как непрерывные функции энергии, не приводя их к интервалу между 0 и я примечание на стр. 141). Покажем, что тогда имеет место равенство

(133,17)

где — число дискретных уровней с моментом I в поле притяжения (N. Levinson, 1949).

Для этого заметим, что в поле, удовлетворяющем условию при всех энергиях применимо борновское приближение, так что при всех Е. При этом поскольку при амплитуда рассеяния стремится к нулю; значение же в соответствии с общими результатами § 132. В то же время в таком поле отсутствуют дискретные уровни (см. § 45), так что Будем теперь следить за изменением разности (где А — некоторая заданная малая величина) при постепенном углублении потенциальной ямы . По мере углубления у верхнего края ямы последовательно появляются первый, второй и т. д. уровни. При. этом фаза получает каждый раз приращение на . Достигнув заданного и устремив затем , мы и получим формулу (133,17).

Задачи

1. Выразить эффективный радиус взаимодействия через волновую функцию связанного состояния во «внутренней» области, (Я. А. Смородинский, 1948).

Решение. Пусть — волновая функция в области , нормированная условием при Тогда квадрат волновой функции во всем пространстве можно написать в виде

(это выражение переходит в при при

Он должен быть нормирован условием

и сравнение с (133,13) дает

Из уравнения (133,1) с решением которого является функция следует, что Поэтому всегда

2. Определить изменение фаз 6; при варьировании поля . Решение. Варьируя в уравнении Шредингера

получим

Умножив первое уравнение на второе — на вычтя почленно одно другого и интегрируя по найдем

Подставив в левую сторону равенства асимптотические выражения

(выбором коэффициента 1 в этом выражении определяется принимаемая нами здесь нормировка ), получим

На основании этой формулы можно сделать определенные заключения о знаке фаз рассматриваемых как непрерывные функции энергии. Для устранения неоднозначности в определении этих функций (аддитивная постоянная, кратная будем нормировать их условием

Начав с когда все и постепенно увеличивая найдем, что в поле оттталкивания все а в поле притяжения . В поле отталкивания и потому при малых энергиях малы; амплитуда рассеяния, следовательно, отрицательна: .

В поле притяжения аналогичное заключение о положительности можно сделать лишь в случае отсутствия уровней; в противном случае при малых Е фазы ; близки не к нулю, а к (см. (133,17)) и никаких заключений о знаке сделать нельзя.

3. Найти длину рассеяния а и эффективный радиус взаимодействия для сферической прямоугольной потенциальной ямы радиуса а и глубины в которой имеется единственный дискретный уровень энергии, близкий к нулю.

Решение. Поступаем, как в задаче 1 к § 132, с той разницей, однако, что в области внутри ямы не пренебрегаем энергией частицы по сравнению с Для определения фазы получаем уравнение

Для того чтобы в яме имелся лишь один, близкий к нулю уровень, должно быть

с (см. задачу 1 к § 33). Разлагая написанное уравнение по степеням , получим

откуда Значение совпадает, как и следовало, с величиной где — энергия уровня в яме (см. задачу 1 к § 33).

4. Выразить интеграл от квадрата волновой функции -состояния через фазу для поля , отличного от нуля лишь внутри сферы радиуса а (G. Luders, 1955).

Решение. Согласно (128,10) имеем

где штрих означает дифференцирование по (а производные по в (128,10) заменены производными по Поскольку при поле уже отсутствует, то в правой стороне равенства можно использовать волновую функцию свободного движения (нормировка согласно (33,20)). В результате получим а

Поскольку интеграл от заведомо положителен, то должно быть положительно и выражение в правой стороне равенства