§ 34. Разложение плоской волны

Рассмотрим свободную частицу, движущуюся с определенным импульсом в положительном направлении оси . Волновая функция такой частицы имеет вид

Разложим эту функцию ПО ВОЛНОВЫМ функциям свободного движения с определенными моментами. Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия имеет определенное значение то ясно, что в искомое разложение войдут только функции с тем же k. Далее, поскольку функция обладает аксиальной симметрией вокруг оси , то в ее разложение могут войти только функции, не зависящие от угла , т. е. функции с Таким образом, должно быть:

где — постоянные. Подставив выражения (28,8) и (33,9) для функций получим

где — другие постоянные. Эти постоянные удобно определить, сравнив коэффициенты при ( в разложениях обеих сторон равенства по степеням . В правой стороне равенства такой член имеется только в слагаемом; при разложение радиальной функции начинается с более высоких степеней , а при полином содержит более низкие степени Член с имеет коэффициентом (см. формулу (с, I)).

Пользуясь также формулой (33,13), найдем интересующий нас член разложения правой стороны равенства

В левой стороне равенств соответствующий (в разложении ) член есть

Приравнивая обе величины, найдем . Таким образом окончательно получаем искомое разложение

На больших расстояниях оно принимает асимптотическую форму

В (34,1) ось выбрана в направлении волнового вектора плоской волны к. Это разложение можно записать и в более общем виде, не предполагающем определенного выбора координатных осей. Для этого надо воспользоваться теоремой сложения шаровых функций (см. (с, 11)), выразив с ее помощью полиномы через шаровые функции от направлений к и (угол между которыми и есть 0). Тогда получим

Функции (определенные согласно ) зависят только от произведения и тем самым ясно видна симметрия формулы по отношению к векторам к и (у которой из двух шаровых функций стоит знак комплексного сопряжения — безразлично).

Нормируем волновую функцию на равную единице плотность потока вероятности, т. е. так, чтобы она соответствовала потоку частиц (параллельному оси ), через единицу площади сечения которого проходит в единицу времени одна частица. Такая функция есть

(у — скорость частиц; см. (19,7)).

Умножая обе стороны равенства (34,1) на и вводя в правой его стороне нормированные функции получим

Квадрат модуля коэффициента при (или ) в этом разложении определяет, согласно общим правилам, вероятность того, что частица в падающем на центр (или расходящемся из центра) потоке будет обладать моментом l (относительно начала координат). Поскольку волновая функция соответствует потоку частиц с равной единице плотностью, то эта «вероятность» обладает размерностью квадрата длины; она может быть наглядно истолкована как величина «прицельной площади» (в плоскости х, у), на которую должна попасть падающая частица, в случае если ее момент равен l. Обозначая эту величину посредством имеем

При больших значениях l сумма прицельных площадей по интервалу значений l (такому, что ) равна

При подстановке классического выражения для момента (где — так называемое прицельное расстояние) это выражение переходит

что совпадает с классическим выражением. Это обстоятельство не случайно: мы увидим в дальнейшем, что при больших значениях l движение квазиклассично (§ 49).

Задача

Разложить плоскую волну по волновым функциям состояний с определен ными значениями проекции момента на ось у и проекцией импульса на ту же ось.

Решение. Введем цилиндрическую систему координат с осью вдоль оси у. Волновые функции указанных состояний будут иметь вид Если отсчитывать угол от оси , разложение можно записать в виде:

(в данном случае ), откуда

где — функция Бесселя. При для справедливо асимптотическое выражение: