ГЛАВА VII. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ

§ 46. Волновая функция в квазиклассическом случае

Если дебройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характеристическими размерами L, определяющими условия данной конкретной задачи, то свойства системы близки к классическим. (По аналогии с тем, как волновая оптика переходит в геометрическую при стремлении длины волны к нулю.)

Произведем теперь более подробное исследование свойств квазиклассических систем. Для этого в уравнении Шредингера

сделаем формальную подстановку

Для функции получаем уравнение

Соответственно тому, что система предполагается почти классической по своим свойствам, будем искать а в виде ряда

расположенного по степеням .

Начнем с рассмотрения наиболее простого случая — одномерного движения одной частицы. Уравнение (46,2) сводится тогда к уравнению

(46,4)

(где штрих означает дифференцирование по координате х).

В первом приближении пишем и опускаем в уравнении член, содержащий :

Отсюда находим

Подынтегральное выражение представляет собой не что иное, как классический импульс частицы, выраженный в функции от координаты. Определив функцию со знаком перед корнем, будем иметь

что и следовало ожидать в соответствии с предельным выражением (6,1) для волновой функции.

Сделанное в уравнении (46,4) пренебрежение законно только в том случае, если второй член в левой стороне равенства мал по сравнению с первым, т. е. должно быть или

В первом приближении имеем, согласно (46,5), так что полученное условие можно написать в виде

где — дебройлевская длина волны частицы, выраженная как функция от х с помощью классической функции Таким образом, мы получили количественное условие квазиклассичности — длина волны частицы должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее самой. Приближение становится неприменимым в тех областях пространства, где это условие не выполняется.

Условие (46,6) можно написать и в ином виде, заметив, что

где есть классическая сила, действующая на частицу во внешнем поле.

Вводя эту силу, находим

Отсюда видно, что квазиклассическое приближение становится неприменимым при слишком малом импульсе частицы. В частности, оно заведомо неприменимо вблизи точек поворота, т. е. вблизи тех точек, в которых частица, согласно классической механике, остановилась бы, после чего начала бы двигаться в обратном направлении. Эти точки определяются из равенства При дебройлевская длина волны стремится к бесконечности и ясно, что во всяком случае не может считаться малой.

Подчеркнем, однако, что условие (46,6) или (46,7) само по себе может оказаться недостаточным для допустимости квазиклассического приближения. Дело в том, что оно получено путем оценки различных членов в дифференциальном уравнении (46,4), причем отбрасываемый член содержит старшую производную. Между тем в действительности надо требовать малости последовательных членов разложения в решении этого уравнения, и она может не обеспечиваться малостью отбрасываемого члена в уравнении. Так, если в решении для содержится член, возрастающий с координатой х по закону, близкому к линейному, то малость второй производной в уравнении не мешает тому, что на достаточно больших расстояниях этот член может «набрать» большую величину. Такая ситуация возникает, вообще говоря, когда поле простирается на расстояния, большие по сравнению с характерной длиной L, на которой оно испытывает заметное изменение (см. ниже замечание в связи с формулой (46,11)); квазиклассическое приближение оказывается тогда неприменимым для прослеживания за поведением волновой функции на больших расстояниях.

Перейдем к вычислению следующего члена в разложении (46,3). Члены первого порядка по в уравнении (46,4) дают , откуда

Интегрируя, находим

(постоянную интегрирования опускаем).

Подставляя полученное выражение в (46,1), (46,3) получим волновую функцию в виде

Множитель в этой функции допускает простое истолкование. Вероятность нахождения частицы в точках с координатами между определяется квадратом т. е. в основном пропорциональна . Это как раз то, что и следовало ожидать для «квазиклассической частицы», поскольку при классическом движении время, проводимое частицей на отрезке обратно пропорционально скорости (или импульсу) частицы.

В классически недоступных участках пространства, где функция — чисто мнимая, так что показатели вещественны. Общий вид решения волнового уравнения в этих областях

Следует, однако, иметь в виду, что точность квазиклассического приближения не дает права сохранять в волновой функции экспоненциально малые члены «на фоне» экспоненциально больших, и в этом смысле одновременное сохранение обоих членов в (46,10), как правило, недопустимо.

Хотя обычно нет необходимости в использовании членов более высоких порядков малости в волновой функции, получим здесь еще и следующий член разложения (46,3), имея в виду отметить некоторые моменты, относящиеся к точности квазиклассического приближения.

Члены порядка в уравнении (46,4) дают

откуда (подставляя (46,5) и (46,8) для

Интегрируя (причем первый член интегрируется по частям) и вводя силу , получим

Волновая функция в рассматриваемом приближении имеет вид

или

Появление мнимых поправочных членов в предэкспоненциальном множителе эквивалентно появлению вещественной поправки в фазе волновой функции (т. е. добавки к интегралу — в ее экспоненте. Эта поправка оказывается пропорциональной т. е. имеющей порядок величины

Второй и третий члены в квадратной скобке в (46,11) должны быть малы по сравнению с 1. Для первого из них это условие совпадает с (46,7), но во втором оценка интеграла приводит к условию (46,7), лишь если достаточно быстро стремится к нулю на расстояниях