§ 47. Граничные условия в квазиклассическом случае

Пусть есть точка поворота (так что ), и пусть при всех а, так что область справа от точки поворота классически недоступна. Волновая функция должна затухать в глубь этой области. В достаточном удалении от точки поворота она имеет вид

соответствующий первому члену в (46,10). Слева же от точки поворота волновая функция должна изображаться вещественной комбинацией (46,9) двух квазиклассических решений уравнений Шредингера:

Для определения коэффициентов в этой комбинации надо проследить за изменением волновой функции от положительных (где справедливо выражение ) к отрицательным . При этом, однако, приходится пройти через область вблизи точки остановки, где квазиклассическое приближение неприменимо и необходимо рассматривать точное решение уравнения Шредингера. При малых имеем

другими словами, в этой области мы имеем дело с задачей о движении в постоянном поле.

Точное решение уравнения Шредингера для этой задачи было найдено в § 24, и связь между коэффициентами в (47,1) и (47,2) может быть найдена сравнением с асимптотическими выражениями (24,5) и (24,6) указанного точного решения по обе стороны от точки поворота. При этом надо заметить, что из (47,3) следует так что интеграл

совпадает с выражением в аргументе или в (24,5) или (24,6). В этих рассуждениях существенно, что область применимости разложения (47,3) и область квазиклассичности частично перекрываются: если движение квазиклассично почти во всей области поля (что и предполагается), то существуют значения настолько малые, что допустимо разложение (47,3), и в то же время настолько большие, что удовлетворяется условие квазиклассичности и применимы асимптотики (24,5), (24,6).

Методически более поучителен, однако, другой способ, позволяющий вообще избежать необходимости прибегать к точному решению. Для этого надо рассматривать формально функцию комплексного переменного х и произвести переход от положительных к отрицательным х — а по пути, целиком расположенному вдали от точки так что на всем этом пути формально удовлетворяется условие квазиклассичности (А. Zwaan, 1929). При этом снова рассматриваем такие значения для которых в то, же время допустимо разложение (47,3), так что волновая функция (47,1) принимает вид

Проследим сначала за изменением, этой функции при обходе вокруг точки справа налево по полуокружности (радиуса р) в верхней полуплоскости комплексного На этой полуокружности

причем фаза меняется от 0 до .

При этом экспоненциальный множитель в (47,4) сначала (при ) возрастает по модулю, а затем падает по модулю до 1. В конце перехода показатель экспоненты становится чисто мнимым, равным

В предэкспоненциальном же множителе в (47,4) в результате обхода

Таким образом, вся функция (47,4) переходит во второй член в (47,2) с коэффициентом

Тот факт, что путем обхода через верхнюю полуплоскость оказалось возможным определить лишь коэффициент в (47,2), имеет простое объяснение. Если проследить за изменением функции (47,2) при обходе по той же полуокружности в обратном направлении (слева направо), то мы увидим, что в начале обхода первый член быстро становится экспоненциально малым по сравнению со вторым. Но квазиклассическое приближение не дает возможности заметить экспоненциально малые члены в «на фоне» большого основного члена, что и является причиной «потери» первого члена в (47,2) при произведенном обходе.

Для определения же коэффициента надо произвести обход справа налево по полуокружности , в нижней полуплоскости комплексного Аналогичным образом найдем, что при этом функция (47,4) переходит в первый член в (47,2) с коэффициентом

Таким образом, волновой функции (47,1) при соответствует при функция

Полученное правило соответствия можно записать в виде, не зависящем от того, с какой именно стороны от точки поворота лежит классически недоступная область

(Н. A. Kramers, 1926).

Подчеркнем лишний раз очевидное из вывода обстоятельство что это правило связано с определенным граничным условием, поставленным с одной из сторон от точки поворота, и в этом смысле должно применяться лишь в определенном направлении, Именно, правило (47,5) получено при граничном условии в глубь классически недоступной области и должно применяться для перехода от последней к классически разрешенной области (как и указано в (47,5) стрелкой) .

Если классически доступная область ограничена (при бесконечно высокой потенциальной стенкой, то граничное условие для волновой функции при есть (см. § 18). Квазиклассическое приближение при этом применимо вплоть до самой стенки и волновая функция