Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 147. Поведение сечений вблизи порога реакции

Если сумма внутренних энергий продуктов реакции превышает таковую у первоначальных частиц, то реакция имеет порог: она может иметь место, лишь если кинетическая энергия Е сталкивающихся частиц (в системе центра инерции) превышает определенное, пороговое, значение ЕП. Рассмотрим характер энергетической зависимости сечения реакции вблизи ее порога. При этом будем считать, что в результате реакции образуются снова всего две частицы (реакция типа ).

Вблизи порога относительная скорость v образовавшихся частиц мала. Такая реакция является обратной по отношению к реакции, в которой мала скорость сталкивающихся частиц. Зависимость ее сечения от v может быть поэтому легко найдена с помощью принципа детального равновесия (144,13) по известной энергетической зависимости реакции, для которой v было бы скоростью во входном канале (§ 143). В широкой категории реакций, когда между частицами А и В нет кулонова взаимодействия (таковы, например, ядерные реакции с образованием медленного нейтрона), мы находим, таким образом, что сечение реакции пропорционально т. е.

(147,1)

Тем самым мы находим и зависимость сечения от энергии сталкивающихся частиц: скорость ней и сечение реакции пропорциональны корню из разности

(147,2)

Амплитуды рассеяния по различным каналам связаны друг с другом соотношениями унитарности. Благодаря этой связи открытие нового канала приводит к появлению определенных особенностей в энергетических зависимостях сечений также и других процессов, в том числе упругого рассеяния (Е. Wigner, 1948; А. И. Базь, 1957; G. Breit, 1957). Для выяснения происхождения и характера этого явления рассмотрим простейший случай, когда ниже порога реакции возможно лишь упругое рассеяние.

Рис. 50

Вблизи порога частицы А и В образуются в состоянии с орбитальным моментом (именно этому и соответствует закон (147,2)). Если участвующие в реакции частицы не имеют спина, то орбитальный момент сохраняется, и потому система частиц . В тоже находится в -состоянии. Согласно (142,7) парциальное сечение реакции для связано с элементом. -матрицы, соответствующим упругому рассеянию, формулой

(147,3)

где к — волновой вектор сталкивающихся частиц. Приравняв (147,2) и (147,3), найдем, что выше порога реакции, вблизи от него, модуль с точностью до величин порядка равен

(147,4)

где ( — приведенная масса частиц А и В), В области ниже порога имеется лишь упругое рассеяние, так что

(147,5)

Но амплитуда рассеяния, а с нею и должны быть аналитическими функциями во всей области изменения энергии.

Такая функция, принимающая значения (147,4) и (147,5) выше и ниже порога, дается с той же точностью формулой

(147,6)

где — постоянная (при корень становится мнимым и модуль стоящего в скобках выражения отличается от единицы лишь на величину более высокого порядка малости). При всех же неупругое рассеяние отсутствует, так что

(147,7)

причем в области вблизи порога фазы следует положить равными их значению при

Подставив полученные значения S; в формулу (142,2), найдем следующее выражение для амплитуды рассеяния вблизи порога реакции:

(147,8)

где — амплитуда рассеяния при Отсюда дифференциальное сечение рассеяния

Представив амплитуду в виде запишем окончательно этот результат в форме

(147,9)

В зависимости от того, находится ли угол 260 — а в 1-м, 2-м, 3-м или 4-м квадранте, описываемая этой формулой энергетическая зависимость сечения имеет вид, изображенный на рис. 50, а, б, в или г. Во всех случаях мы имеем две ветви, лежащие по обе стороны от общей вертикальной касательной.

При интегрировании выражений (147,9) по в интегралы от вторых членов отличный от нуля вклад дает только изотропная часть амплитуды — парциальная амплитуда упругого -рассеяния:

В результате получим для полного сечения упругого рассеяния вблизи порога следующее выражение.

(147,10)

Эта зависимость имеет вид а или б на рис. 50 соответственно при положительном или отрицательном знаке

Таким образом, существование порога реакции приводит к появлению характерной особенности в энергетической зависимости сечения упругого рассеяния. Наличие спина у частиц меняет, разумеется, количественные формулы, но общий характер явления остается тем же. Если ниже порога возможны, наряду с упругим рассеянием, также и другие реакции, то аналогичные особенности появляются и в их сечениях. Все они имеют при особенность, вблизи которой являются линейными функциями корня с различными наклонами выше и ниже порога.

В ядерных реакциях вылетом положительно заряженной частицы имеем дело со случаем, когда между продуктами реакции (частицы А и В) действуют силы кулонова отталкивания. В этом случае сечение реакции при экспоненциально стремится к нулю вместе со всеми своими производными по энергии и никакой особенности в сечениях других процессов не возникает.

Наконец, рассмотрим реакции с образованием двух разноименно заряженных медленных частиц, между которыми действуют силы кулонова притяжения. Сечение такой реакции связано принципом детального равновесия с сечением (143,6) обратной реакции между двумя медленными притягивающимися частицами. Таким образом, находим, что при v 0 сечение стремится к постоянному пределу

(147,11)

т. е. за порогом реакция возникает сразу с конечным сечением.

Высним характер особенности, которой обладает вблизи порога такой реакции сечение упругого рассеяния (Л. И. Базь, 1959). Это, однако, не может быть сделано непосредственно по известному надпороговому закону (147,11) тем простым способом, который мы использовали выше в случае незаряженных частиц. По сравнению с последним случаем ситуация осложняется теперь в связи с тем, что система частиц обладает в околопороговой области (при ) связанными состояниями, соответствующими дискретным уровням энергии в кулоновом поле притяжения.

Эти состояния могут, с энергетической точки зрения, образоваться при столкновении частиц А и В, но ввиду возможности упругого рассеяния они будут лишь квазистационарными. Однако их существование должно привести к появлению резонансных эффектов в (подпороговом) упругом рассеянии, аналогичных брейт-вигнеровским резонансам.

Для решения поставленной задачи рассмотрим структуру волновых функций, описывающих процесс столкновения. В соответствии с наличием двух каналов уравнение Шредингера системы взаимодействующих частиц имеет два независимых решения, конечных во всем конфигурационном пространстве; обозначим два таких произвольно выбранных (и произвольно нормированных) решения посредством Из этих функций можно составить линейные комбинации, описывающие рассеяние в случае, когда тот или иной из каналов является входным. Обозначим каналы, соответствующие парам частиц А, В и А, В посредством а и и пусть сумма отвечает случаю входного канала она описывает упругое рассеяние частиц и В и реакцию . Вблизи порога реакции коэффициенты с, существенно зависят от малого импульса между тем как сами произвольно выбранные функции никакой особенности при не имеют.

На больших расстояниях функция должна представлять собой сумму двух членов, соответствующих движению пар частиц в каналах а и Каждый из них есть произведение «внутренних» функций частиц на волновую функцию их относительного движения. В канале а последняя имеет вид а в канале где — расходящаяся и сходящаяся волны в соответствующих каналах. На расстояниях больших по сравнению с радиусом короткодействующих сил и малых по сравнению с эти функции (и их производные) должны «сшиваться» со значениями, вычисляемыми по волновой функции в «зоне реакции». Эти условия выражаются равенствами вида

где величины, вычисляемые по функциям согласно сказанному выше вблизи порога их можно считать постоянными, не зависящими от

Разделив почленно первую и вторую пару написанных равенств, мы получим систему двух линейных уравнений для двух неизвестных причем в коэффициентах этих уравнений фигурирует лишь одна величина, «критически» зависящая от — логарифмическая производная от расходящейся волны в канале определим эту величину как

Нет необходимости фактически проводить решение этих уравнений. Достаточно заметить, что интересующая нас величина (определяющая амплитуду упругого рассеяния) оказывается при этом дробно-линейной функцией от К. Ниже порога величина А, вещественна, так как вещественна волновая функция — решение вещественного уравнения Шредингера при вещественном условии на бесконечности (убывание как где ). В то же время ниже порога должно быть Отсюда следует, что дробно-линейная функция должна иметь вид

(147,12)

где — вещественная, — комплексная постоянная.

Определим величину К как функцию импульса Поскольку между частицами А и В действуют силы кулонова притяжения, то дается кулоновой волновой функцией, асимптотически пропорциональной на бесконечности В кулоновом поле отталкивания эта функция дается суммой из (138,4) и (138,7). Переход же к полю притяжения осуществляется одновременным изменением знаков k и Произведя эту замену и вычислив логарифмическую производную (см. § 138), получим

(147,13)

Здесь предполагается вещественной величиной, так что эта формула относится к области выше порога. При первый член в (147,13) обращается в , а второй стремится к нулю (см. примечание на стр. 665).

Таким образом, выше порога имеем

(147,14)

Переход к области ниже порога осуществляется заменой k на . После этого получим из (147,13) при

(147,15)

Полученные формулы решают поставленный вопрос. Сечение упругого рассеяния

Выше порога имеем

(147,16)

как и сечение реакции, сечение рассеяния оказывается в этой области постоянным. Отметим, что условие означает, что должно быть .

Рис. 61

Ниже порога находим

Это выражение имеет бесконечное число резонансов, сгущающихся по направлению к точке Резонансные энергии являются корнями уравнения т. е.

они смещены относительно чисто кулоновых уровней (корней уравнения ) благодаря наличию короткодействующих сил. По мере приближения энергии Е к порогу сечение упругого рассеяния осциллирует между нулем и как это показано схематически на рис. 51.

Ширина всей подпороговой области, в которой обнаруживается резонансная структура, определяется величиной энергии первого кулонова уровня.

1
Оглавление
email@scask.ru