§ 13. Гейзенберговское представление операторов
В излагаемом математическом аппарате квантовой механики операторы, соответствующие различным физическим величинам, действуют на функции координат и сами по себе явной зависимости от времени обычно не содержат. Зависимость средних значений физических величин от времени возникает лишь через временную зависимость волновой функции состояния согласно формуле
Аппарат квантовой механики можно, однако, сформулировать и в несколько другом, эквивалентном, виде, в котором зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторы. Хотя в этой книге мы не будем пользоваться таким (так называемым гейзенберговским в отличие от шредингеровского) представлением операторов, мы сформулируем его здесь, имея в виду дальнейшие применения в релятивистской теории.
Введем унитарный (ср. (12,13)) оператор
где Н — гамильтониан системы. По определению, его собственные функции совпадают с собственными функциями оператора И, т. е. с волновыми функциями стационарных состояний (q), причем
Отсюда следует, что разложение (10,3) произвольной волновой функции 
по волновым функциям стационарных состояний может быть записано в операторной форме как
т. е. действие оператора S приводит к переводу волновой функции системы в некоторый начальный момент времени в волновую функцию в произвольный момент времени.
Введя, в соответствии с (12,7), зависящий от времени оператор
будем иметь
т. е. представим формулу для среднего значения величины 
(являющуюся определением операторов) в виде, в котором зависимость от времени полностью перенесена на оператор.
Очевидно, что матричные элементы оператора (13,5), по отношению к волновым функциям стационарных состояний совпадают с зависящими от времени матричными элементами 
определяемыми формулой (11,3).
Наконец, продифференцировав выражение (13,5) по времени (предполагая при этом сами операторы 
и Н не содержащими t), получим уравнение
аналогичное формуле (9,2), но имеющее несколько иной смысл: выражение (9,2) представляет собой определение оператора 
соответствующего физической величине f, между тем как в левой стороне уравнения (13,7) стоит производная по времени от оператора самой величины 
