§ 51. Вычисление квазиклассических матричных элементов

Непосредственное вычисление матричных элементов какой-либо физической величины f с помощью квазиклассических волновых функций представляет большие трудности. Мы предполагаем, что энергии состояний, для перехода между которыми вычисляется матричный элемент, не близки друг к другу, так что последний не сводится к компоненте Фурье от величины (§ 48). Трудности связаны с тем, что в силу экспоненциального (с большой мнимой экспонентой) характера волновых функций, подынтегральное выражение оказывается быстро осциллирующей величиной.

Рис. 17

Будем рассматривать одномерный случай (движение в поле ) и предположим для простоты, что оператор физической величины f есть просто функция координаты Пусть и — волновые функции, соответствующие некоторым значениям энергии частицы (причем рис. 17); будем считать, что выбраны вещественными. Мы должны вычислить интеграл

Согласно (47,5) волновая функция в областях по обе стороны от точки поворота (в достаточном удалении от нее) имеет вид

и аналогично для (с заменой индекса 1 индексом 2).

Однако вычисление интеграла (51,1) путем подстановки в него этих асимптотических выражений для волновых функций дало бы неправильный результат. Дело в том, что, как мы увидим ниже, этот интеграл является экспоненциально малой величиной, между тем как подынтегральная функция сама по себе не мала. Поэтому уже относительно малое изменение последней изменяет, вообще говоря, порядок величины интеграла. Эта трудность может быть обойдена следующим образом.

Функцию представим в виде суммы разложив косинус (в области ) на сумму двух экспоненциальных выражений. Согласно (50,2) будем иметь

функция комплексно сопряжена с

Интеграл (51,1) тоже разобьется на сумму двух комплексно сопряженных интегралов, вычислением которых мы и займемся. Предварительно заметим, что интеграл

сходится. Действительно, хотя функция в области экспонедциально возрастает, но зато функция в области еще быстрее экспоненциально убывает (поскольку везде в области имеем ).

Будем рассматривать координату как комплексную переменную и сместим путь интегрирования с вещественной оси в верхнюю полуплоскость. Когда получает положительное мнимое приращение, в функции (в области ) появляется возрастающий член, но зато функция убывает быстрее, так как везде в области имеем Поэтому подынтегральное выражение убывает.

Смещенный путь интегрирования не проходит уже через точки на вещественной оси, вблизи которых квазиклассическое приближение неприменимо. Поэтому на всем пути можно пользоваться для функциями, являющимися их асимптотическими выражениями в верхней полуплоскости.

Это будут функции

где корни определяются так, что на вещественной оси в области х < а они положительны.

В интеграле

поставим себе целью сместить путь интегрирования таким образом, чтобы, по возможности, уменьшить экспоненциальный множитель. Экспонента имеет экстремум лишь в точках, где ее производная по не обращается в нуль ни в каких других точках). Поэтому смещение контура интегрирования в верхнюю полуплоскость ограничивается лишь необходимостью обходить особые точки функции согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений они совпадают с особыми точками волновых функций Конкретный выбор контура зависит от конкретного вида поля . Так, если функция имеет в верхней полуплоскости всего одну особую точку то интегрирование можно производить по пути изображенного на рис. 18 типа.

Рис. 18

Главную роль в интеграле играет непосредственная окрестность особой точки, так что искомый матричный элемент в основном пропорционален экспоненциально малому выражению, которое можно представить в виде

(Л. Д. Ландау, 1932).

В качестве нижних пределов интегралов можно выбрать любые точки в классически доступных областях; конкретный их выбор не влияет, очевидно, на мнимую часть интегралов. Если функция имеет несколько особых точек в верхней полуплоскости, то в качестве в (51,6) надо выбрать ту, для которой экспонента имеет наименьшее по абсолютной величине значение.

Формула (51,6) упрощается в случае, когда энергии близки, так что матричный элемент сводится, согласно результатам § 48, к компоненте Фурье по времени классической величины Полагая и разлагая по получаем

Величину

можно рассматривать как комплексное время, за которое частица достигает точки в комплексной плоскости (Величина же есть соответствующая «комплексная скорость. Легко убедиться в том, что (51,6а) действительно дает приближенное выражение для компоненты Фурье при условии

Вычисление квазиклассических матричных элементов для движения в центрально-симметричном поле производится тем же способом. Однако под надо теперь понимать эффективную потенциальную энергию (сумма потенциальной и центробежной энергий), и для состояний с различными значениями l она будет различной. Имея в виду дальнейшие применения излагаемого метода, будем писать эффективные потенциальные энергии в двух состояниях в общем виде, как некоторые .

Тогда показатель экспоненциального множителя в подынтегральном выражении в (51,5) будет иметь экстремум не только в точках, где (г) или. (г) обращаются в бесконечность, но. еще и в точках, где

Поэтому в формуле

среди конкурирующих значений надо иметь в виду не только особые точки , но и корни уравнения (51,7).

Центрально-симметричный случай отличается еще и тем, что интегрирование по в (51,1 производится в пределах от 0 (а не от ) до

В этом отношении надо различать два случая. Если подынтегральное выражение есть четная функция от , то интегрирование можно формально распространить на всю область от до так что никаких отличий от предыдущего не возникает. Этот случай может иметь место, если — четные функции . Тогда волновые функции — либо четные, либо нечетные функции (см. § 21), и если функция тоже четна или нечетна, то произведение может оказаться четным.

Если же подынтегральное выражение не является четным (что во всяком случае имеет место, если не является четной), то начало пути интегрирования не может быть сдвинуто из. точки и. в число конкурирующих в (51,8) значений надо включить также и значение

Задачи

1. Вычислить квазиклаесические матричные элементы (ограничиваясь экспоненциальным, множителям) в поле

Решение. обращается в бесконечность только при . Соответственно этому, полагаем, в (51,6) . Интегрирование молжно распространить до Каждый, из двух интегралов в отдельности расходился на пределе

Поэтому вычисляем их сначала в пределах от до и затем переходим к пределу . В результате подучим

где - скорости частицы на бесконечности где движение является свободным.

2. То же в кулоновом поле U — для переходбв между состояниями

Решение. Единственной особой точкой функции является точка Соответствующий интеграл вычислен в задаче 2 § 50. В результате получаем по формуле (51,8)

3. То же для ангармонического осциллятора с потенциальной энергией

при условии

Решение. Обобщение рассуждений в тексте на случай финитного движения показывает, что формула (51,6) по-прежнему справедлива. В качестве следует выбрать точки причем дают вклад одного порядка. Имеем

При условии (1) главный вклад дает область

в которой

Разлагая показатель экспоненты по степеням (придам члены нулевого порядка сокращаются) и пренебрегая имеем:

Логарифмически расходящиеся интегралы следует обрезать на границах (Области (2), т. е. при сверху и снизу. В результате

Вводя номера состояний

запишем ответ в виде

Поскольку в решении существенны большие значения х, ответ справедлив для не слишком быстро растущей на бесконечности. Если представляет собой иолином, то его степень должна быть мала по сравнению с .