§ f. Вычисление интегралов с вырожденными гипергеометрическими функциями

Рассмотрим интеграл вида

Предполагается, что он сходится. Для этого должно быть ; если а есть целое отрицательное число, то вместо второго условия достаточно потребовать, чтобы было

Воспользовавшись для интегральным представлением (d,9) и произведя интегрирование по под знаком контурного интегрирования, получим

Учитывая (e,3), находим окончательно

В случаях, когда функция сводится к полиномам, получаем соответственно и для интеграла выражения через элементарные функции:

( — целые числа, )

Далее, вычислим интеграл

— целое положительное, Для вычисления исходим из более общего интеграла, содержащего в подынтегральном выражении вместо

Одну из функций пишем в виде интеграла (d,9), после чего интегрирование по с помощью формулы дает

Производную порядка по к можно, очевидно, заменить, выразив через производную того же порядка по сделав это, полагаем возвращаясь, таким образом, к интегралу

Посредством -кратного интегрирования по частям переносим операцию на выражение и раскрываем производную по формуле Лейбница. В результате получим сумму интегралов, каждый из которых сводится к известному интегралу Эйлера. Окончательно получается следующее выражение для искомого интеграла:

Легко видеть, что между интегралами имеет место следующее соотношение ( целое число)

Аналогичным образом вычисляется интеграл

Представляем функцию в виде интеграла и после интегрирования по с помощью формулы находим

Подстановкой этот интеграл приводится к виду давая в результате

Если а (или а) есть целое отрицательное число то с помощью соотношения это выражение может быть переписано в виде

Наконец, рассмотрим интегралы вида

Значения параметров предполагаются такими, что интеграл сходится абсолютно; — целые положительные числа. Простейший из этих интегралов равен, согласно

если а (или а) — целое отрицательное число, , то, согласно можно также написать

Общая формула для может быть выведена, но она настолько сложна, что ею неудобно пользоваться.

Удобнее пользоваться рекуррентными формулами, позволяющими свести интегралы к интегралу с . Формула

дает возможность свести к интегралу с После этого формула

позволяет произвести окончательное приведение к интегралу с