§ 137. Столкновения одинаковых частиц

Особого рассмотрения требует случай столкновения двух одинаковых частиц. Тождественность частиц приводит в квантовой механике к появлению своеобразного обменного взаимодействия между ними. Оно существенно сказывается и на рассеянии

Орбитальная волновая функция системы из двух частиц должна быть симметричной или антисимметричной относительно частиц в зависимости от того, четен или нечетен суммарный спин последних (см. § 62). Поэтому описывающая рассеяние волновая функция, получающаяся путем решения обычного уравнения Шредингера, должна быть симметризована или антисимметризована по частицам. Перестановка частиц эквивалентна замене направления соединяющего их радиуса-вектора на обратное. В системе координат, в которой покоится центр инерции, это означает, что остается неизменным, а угол заменяется на (в связи с чем переходит в ). Поэтому вместо асимптотического выражения (123,3) волновой функции мы должны писать

(137,1)

В силу тождественности частиц нельзя, конечно, указать, которая из них есть рассеиваемая, а которая — рассеивающая. В системе центра инерции мы имеем две одинаковые распространяющиеся навстречу друг другу падающие волны: и Расходящаяся же сферическая волна в (137,1) учитывает рассеяние обеих частиц, и вычисленный с ее помощью поток определяет вероятность того, что в данном элементе телесного угла будет рассеяна какая-либо из частиц. Сечение рассеяния есть отношение этого потока к плотности потока в каждой из падающих плоских волн, т. е. по-прежнему определяется квадратом модуля коэффициента при в волновой функции (137,1).

Таким образом, если суммарный спин сталкивающихся частиц четен, то сечение рассеяния имеет вид

(137,2)

а если нечетен, то

(137,3)

Характерно для обменного взаимодействия появление интерференционного члена (). Если бы частицы были различимы, как в обычной классической механике, то вероятность рассеяния какой-либо из них в данный элемент телесного угла была бы равна просто сумме вероятностей отклонения одной из них на угол , а движущейся навстречу ей — на угол другими словами, сечение было бы равно

В предельном случае малых скоростей амплитуда рассеяния (при достаточно быстро убывающем с расстоянием взаимодействии частиц) стремится к постоянному, не зависящему от углов пределу (§ 132). Из (137,3) видно, что при этом обращается в нуль, т. е. рассеиваются друг на друге лишь частицы с четным суммарным спином.

В формулах (137,2), (137,3) предполагается, что суммарный спин сталкивающихся частиц имеет определенное значение. Если же частицы не находятся в определенных спиновых состояниях, то для определения сечения надо произвести усреднение, считая все спиновые состояния равновероятными.

В § 62 было показано, что из общего числа различных спиновых состояний системы двух частиц со спином состояний соответствует четному, — нечетному полному спину (если s — полуцелое), или же наоборот (если s — целое). Предположим сначала, что спин s частиц — полуцелый. Тогда вероятность системе из обеих сталкивающихся частиц иметь четное S равна а вероятность нечетного S равна Поэтому сечение рассеяния равно

(137,4)

Подставив сюда (137,2), (137,3), получим

Аналогичным образом получим при целом s

(137,6)

В качестве примера выпишем формулы для столкновения двух электронов, взаимодействующих по закону Кулона Подстановка выражения (135,9) в формулу (137,5) с дает) (в обычных единицах) после простого вычисления

(137,7)

(мы ввели массу электрона вместо приведенной массы ). Эта формула заметно упрощается, если скорость настолько велика, что (заметим, что это есть как раз условие применимости к кулоновому полю теории возмущений). Тогда косинус в третьем члене можно заменить единицей и получается

Противоположный предельный случай, соответствует переходу к классической механике (см. конец § 127). В формуле (137,7) этот переход происходит весьма своеобразно. При косинус в третьем члене в квадратных скобках есть быстро осциллирующая функция. При каждом данном 0 формула (137,7) дает для сечения рассеяния значение, вообще говоря, заметно отличающееся от резерфордовского. Однако уже при усреднении - по небольшому интервалу значений осциллирующий член в (137,7) исчезает, и мы приходим к классической формуле.

Все написанные формулы относятся к системе координат, в которой центр инерции покоится. Переход к системе, в которой до столкновения одна из частиц покоилась, осуществляется, согласно (123,2), просто путем замены 0 на Так, для столкновения электронов получим из (137,7)

(137,9)

где есть элемент телесного угла в новой системе координат (при замене на элемент телесного угла надо заменить на так как ).

Задача

Определить сечение рассеяния двух одинаковых частиц со спином 1/2, имеющих заданные средние значения спина

Решение. Зависимость сечения от поляризаций частиц должна выражаться членом, пропорциональным скаляру Ищем в виде а Для неполяризованных частиц второй член отсутствует и, согласно (137,4), Если же обе частицы полностью поляризованы в одном направлении то система заведомо находится в состоянии с в этом случае, следовательно, Определив из полученных двух равенств и найдем