§ 4. Сложение и умножение операторов

Если f и g — операторы, отвечающие двум физическим величинам f и g, то сумме отвечает оператор . Смысл сложения различных физических величин в квантовой механике, однако, существенно различен в зависимости от того, измеримы ли эти величины одновременно или нет. Если величины одновременно измеримы, то операторы f и имеют совместные собственные функции, которые являются в то же время и собственными функциями оператора а собственные значения последнего оператора равны суммам

Если же величины и g не могут иметь одновременно определенных значений, то смысл их суммы более ограничен.

Можно лишь утверждать, что среднее значение этой величины в произвольном состоянии равно сумме средних значений каждого из слагаемых в отдельности:

Что же касается собственных значений и функций оператора то здесь они, вообще говоря, не будут иметь никакого отношения к собственным значениям и функциям величин Очевидно, что если операторы f и g — эрмитовы, то эрмитовым будет и оператор , так что его собственные значения — вещественны и представляют собой собственные значения определенной таким образом новой величины

Отметим следующую теорему. Пусть — наименьшие собственные значения величин — то же для величины . Тогда можно утверждать, что

Знак равенства имеет место, если величины одновременно измеримы. Доказательство следует из очевидного факта, что среднее значение величины во всяком случае больше или равно ее наименьшему собственному значению. В состоянии, в котором величина имеет значение имеем и поскольку, с другой стороны, мы приходим к неравенству (4,2).

Пусть теперь снова — одновременно измеримые величины, Наряду с их суммой можно ввести понятие и об их произведении как о величине, собственные значения которой равны произведениям собственных значений величин Легко видеть, что такой величине соответствует оператор, действие которого состоит в последовательном действии на функцию сначала одного, а затем другого оператора. Такой оператор изображается математически как произведение операторов Действительно, если — общие собственные функции операторов то имеем

(символ обозначает оператор, действие которого на функцию заключается в последовательном действии сначала оператора g на функцию , а затем оператора f на функцию ). С тем же успехом мы могли бы взять вместо оператора оператор отличающийся от первого порядком множителей. Очевидно, что результат воздействия обоих этих операторов на функции будет одинаковым. Но поскольку всякая волновая функция может быть представлена в виде линейной комбинации функций то отсюда следует, что одинаковым будет результат воздействия операторов и на произвольную функцию.

Этот факт может быть записан в виде символического равенства или

(4,3)

О таких двух операторах говорят, как о коммутативных друг с другом. Таким образом, мы приходим к важному результату: если две величины могут иметь одновременно определенные значения, то их операторы коммутативны друг с другом.

Может быть доказана и обратная теорема (см. § 11): если операторы коммутативны, то у них все собственные функции можно выбрать общими, что физически означает одновременную измеримость соответствующих физических величин. Таким образом, коммутативность операторов является необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин.

Частным случаем произведения операторов является оператор, возведенный в некоторую степень. На основании сказанного мы можем заключить, что собственные значения оператора — целое число) равны собственным значениям оператора f, возведенным в ту же степень. Вообще, можно определить любую функцию оператора как оператор, собственные значения которого равны такой же функции собственных значений оператора f. Если функция разложима в ряд Тэйлора, то таким разложением действие оператора сводится к действию различных степеней

В частности, оператор называется обратным оператору f. Очевидно, что в результате последовательного воздействия операторов f и на произвольную функцию последняя остается неизменной, т. е. .

Если же величины и g не измеримы одновременно, то понятие их произведения не имеет указанного выше прямого смысла. Это проявляется уже в том, что оператор в этом случае не будет эрмитовым, а поэтому не может соответствовать вещественной физической величине. Действительно, по определению транспонированного оператора, пишем

Здесь оператор действует только на функцию а оператор g на Ф, так что под интегралом стоит просто произведение двух функций: Применив еще раз определение транспонированного оператора, пишем

Таким образом, мы получили интеграл, в котором по сравнению с первоначальным функции и Ф поменялись местами.

Другими словами, оператор есть оператор, транспонированный с и мы можем написать

— оператор, транспонированный с произведением есть произведение транспонированных множителей, написанных в обратном порядке. Взяв комплексно сопряженное от обеих сторон равенства (4,4), найдем, что

Если каждый из операторов — эрмитов, то Отсюда следует, что оператор будет эрмитовым, только если множители — коммутативны.

Отметим, что из произведений двух некоммутативных эрмитовых операторов можно составить эрмитов же оператор — их симметризоваяное произведение

Легко также убедиться в том, что разность есть «анти-эрмитов» оператор (т. е. такой, для которого транспонированный оператор равен взятому с обратным знаком комплексно сопряженному). Он может быть сделан эрмитовым умножением на ; таким образом,

есть тоже эрмитов оператор.

В дальнейшем мы будем иногда пользоваться для краткости обозначением

для так называемого коммутатора операторов. Легко убедиться в том, что имеет место соотношение

Заметим, что если , то отсюда, вообще говоря, отнюдь не следует, что и f и g коммутативны.